【AtCoder Grand 011E】Increasing Numbers 题解

题目大意

       如果一个数，从高位到低位是递增的，则称为上升数，例如 1122345。
       现在有个大整数 n ，求至少需要多少个上升数，使它们的和为 n 。
      n<=105e5

解法1.1

       上升数可以拆成很多个形如 1111…111 的全 1 数，例如 1122345=1111111+11111+111+11+1。
       所以可以考虑把 n 拆成全 1 数，然后合并。因为 1 个上升数最多由 9 个全 1 数合并而来，并且可以任意组合，所以最后的答案是 ⌈全1数的数量9⌉ ，因此最小化全 1 数的数量即可。

       然后全 1 数可以看成是 1+10+100+100……这样的等比数列和，因此一个 n 位的全 1 数等于 10n−19 。假设我们最后拆成的全 1 数有 k 个，位数分别是 a[1]...a[k] ，则有 ∑ki=1(10a[i]−1)=9n ，我们要最小化 k 。

       枚举这个 k 就行了，因为判断条件是 9n+k 的数位和等于 k ，所以 k 是 O(5e5) 的。

解法1.2

       事实上这个 k 不需要枚举，因为 9n+k 的数位和的增长速度比 k 慢，所以二分 k 就行了。

解法2

       上述拆成全 1 数的方法其实证明了贪心是对的，即每次选最大的全 1 数，或者回到原题是每次选最大的上升数。比如 720464=699999+20465=699999+19999+466

       因为 n−a=n−(a+1)+1 ，所以每次分离一个最大的上升数就相当于，从最高位开始找最长连续的上升序列，然后删掉这个序列，剩下的这个数+1。

       所以就 O(5e5) 地从高位开始扫。高精度+1的复杂度也是 O(5e5) 。（每 10 次加法会用到第二位、每 100 次加法会用到第三位……所以是 5e5+5e510+5e5100+…… ）