AtCoder Grand Contest 019 E - Shuffle and Swap

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题意：

给两个01串 A ， B ，它们 1 的个数相同，记 ai 表示 A 中 1 的出现位置， bi 表示 B 中 1 的出现位置，将 a 和 b 打乱后依次交换 Aai 和 Abi ，求有多少种方式使得 A=B 。

题解：

我们先考虑 a 和 b 的匹配，再考虑顺序。
对于一个给定的匹配，我们从 ai 到 bi 连一条有向边，注意到每个点入度和出度不超过 1 ，所以这个图一定由若干个环和若干条链构成，环的顺序随意而链的顺序唯一。
假设有 x 个 Ai=Bi=1 ， y 个 Ai=1,Bi=0 ，我们发现边数是 x+y ，图由 y 条链和若干个环构成。
我们考虑将 Ai=Bi=1 的点分配到链上面，记 f(i,j) 表示考虑前 i 条链，分配了 j 个点的方案数，那么有转移：
f(i,j)=∑f(i−1,j−k)(k+1)!
最后答案是：
∑f(y,i)×x!×y!×(x+y)! 。
其中 x! 表示分配点的顺序， y! 表示匹配个数， (x+y)! 表示边的顺序方案数。
注意到 f(y) 实际上是一个多项式的 y 次方，直接快速幂即可。

代码

#include 
#define xx first
#define yy second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define mset(x, y) memset(x, y, sizeof x)
#define mcpy(x, y) memcpy(x, y, sizeof x)
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair <int, int> pii;

inline int Read()
{
    int x = 0, f = 1, c = getchar();
    for (; !isdigit(c); c = getchar())
        if (c == '-')
            f = -1;
    for (;  isdigit(c); c = getchar())
        x = x * 10 + c - '0';
    return x * f;
}

const int MAXN = 32770;
const int MAXM = 20;
const int mod = 998244353;
const int G = 3;

namespace FFT
{
    int wn[MAXM], R[MAXN], L, n;

    inline int Qow(int x, int y)
    {
        int ret = 1;
        for (; y; y >>= 1, x = 1LL * x * x % mod)
            if (y & 1)
                ret = 1LL * ret * x % mod;
        return ret;
    }

    inline int Inv(int x)
    {
        return Qow(x, mod - 2);
    }

    inline void Ini(int len)
    {
        for (n = 1, L = 0; n < len; n <<= 1, L ++);
        for (int i = 1; i < n; i ++)
            R[i] = (R[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << L - 1);
        wn[0] = Qow(G, mod - 1 >> L);
        for (int i = 1; i < L; i ++)
            wn[i] = 1LL * wn[i - 1] * wn[i - 1] % mod;
    }

    inline void Ini_Inv()
    {
        wn[0] = Inv(wn[0]);
        for (int i = 1; i < L; i ++)
            wn[i] = 1LL * wn[i - 1] * wn[i - 1] % mod;
    }

    inline void FFT(int *x)
    {
        for (int i = 0; i < n; i ++)
            if (i < R[i])
                swap(x[i], x[R[i]]);
        for (int i = 1, l = L - 1; i < n; i <<= 1, l --)
            for (int j = 0; j < n; j += i << 1)
                for (int k = 0, w = 1, u, v; k < i; k ++, w = 1LL * w * wn[l] % mod)
                    u = x[j + k], v = 1LL * x[i + j + k] * w % mod, x[j + k] = (u + v) % mod, x[i + j + k] = (u + mod - v) % mod;
    }

    inline void Cpy(int *x, int n, int *y, int m)
    {
        for (int i = 0; i < n; i ++)
            y[i] = x[i];
        for (int i = n; i < m; i ++)
            y[i] = 0;
    }

    inline void Mul(int *a, int n, int *b, int m, int *ret)
    {
        static int x[MAXN], y[MAXN];
        Ini(n + m - 1);
        Cpy(a, n, x, FFT::n); Cpy(b, m, y, FFT::n);
        FFT(x); FFT(y);
        for (int i = 0; i < FFT::n; i ++)
            x[i] = 1LL * x[i] * y[i] % mod;
        Ini_Inv();
        FFT(x);
        int v = Inv(FFT::n);
        for (int i = 0; i < FFT::n; i ++)
            ret[i] = 1LL * v * x[i] % mod;
    }
}

int n, m, fac[MAXN], inv[MAXN], x[MAXN], r[MAXN];
char s[MAXN], t[MAXN];

int main()
{
#ifdef wxh010910
    freopen("data.in", "r", stdin);
#endif
    scanf("%s%s", s + 1, t + 1);
    for (int i = 1, l = strlen(s + 1); i <= l; i ++)
        if (s[i] == '1' && t[i] == '1')
            n ++;
        else if (s[i] == '1' && t[i] == '0')
            m ++;
    r[0] = fac[0] = inv[0] = fac[1] = inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n + m + 1; i ++)
        fac[i] = 1LL * fac[i - 1] * i % mod, inv[i] = 1LL * (mod - mod / i)  * inv[mod % i] % mod;
    for (int i = 2; i <= n + m + 1; i ++)
        inv[i] = 1LL * inv[i] * inv[i - 1] % mod;
    for (int i = 0; i <= n; i ++)
        x[i] = inv[i + 1];
    for (int t = m; t; t >>= 1, FFT::Mul(x, n + 1, x, n + 1, x))
        if (t & 1)
            FFT::Mul(x, n + 1, r, n + 1, r);
    int ret = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i ++)
        ret = (ret + r[i]) % mod;
    return printf("%d\n", 1LL * ret * fac[n] % mod * fac[m] % mod * fac[n + m] % mod), 0;
}