hihoCoder1181 欧拉路·二 ( Fleury )

hihoCoder1181 欧拉路 二

原题地址：http://hihocoder.com/problemset/problem/1181

题意：
在上一回中小Hi和小Ho控制着主角收集了分散在各个木桥上的道具，这些道具其实是一块一块骨牌。

主角继续往前走，面前出现了一座石桥，石桥的尽头有一道火焰墙，似乎无法通过。

小Hi注意到在桥头有一张小纸片，于是控制主角捡起了这张纸片，只见上面写着：

将M块骨牌首尾相连放置于石桥的凹糟中，即可关闭火焰墙。切记骨牌需要数字相同才能连接。
——By 无名的冒险者
小Hi和小Ho打开了主角的道具栏，发现主角恰好拥有M快骨牌。

小Ho：也就是说要把所有骨牌都放在凹槽中才能关闭火焰墙，数字相同是什么意思？

小Hi：你看，每一块骨牌两端各有一个数字，大概是只有当数字相同时才可以相连放置，比如：

小Ho：原来如此，那么我们先看看能不能把所有的骨牌连接起来吧。

提示：Fleury算法求欧拉路径

输入
第1行：2个正整数，N,M。分别表示骨牌上出现的最大数字和骨牌数量。1≤N≤1,000，1≤M≤5,000
第2..M+1行：每行2个整数，u,v。第i+1行表示第i块骨牌两端的数字(u,v)，1≤u,v≤N
输出
第1行：m+1个数字，表示骨牌首尾相连后的数字
比如骨牌连接的状态为(1,5)(5,3)(3,2)(2,4)(4,3)，则输出”1 5 3 2 4 3”
你可以输出任意一组合法的解。

（我为什么要保留题面呢，因为很可爱）
数据范围
1≤N≤1,000，1≤M≤5,000

题解：
Fleury求欧拉路径。

走过的边打上标记，不走重复的边，
回溯时再把点入栈。

注意从第一个有边的点开始dfs，给出的n是最大标号，不是1-n都有。
代码：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=1005;
const int M=5005;
int n,m,head[N],to[2*M],nxt[2*M],du[N],num=1,S[M],top=0;
bool del[2*M];
void build(int u,int v)
{
    num++;
    to[num]=v;
    nxt[num]=head[u];
    head[u]=num;
}
void dfs(int u)
{
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
    {
        if(del[i]) continue;
        del[i]=1; del[i^1]=1;
        int v=to[i];
        dfs(v);     
    }
    S[++top]=u;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        build(u,v);
        build(v,u);
        du[u]++; du[v]++;
    }
    int st;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    if(du[i]) {st=i;break;}
    dfs(st);
    for(int i=top;i>=1;i--)
    printf("%d ",S[i]);
}

---

复习欧拉路：

无向图存在欧拉回路的充要条件
该图所有顶点度数都为偶数,且该图是连通图。
无向图存在欧拉路径的充要条件
该图所有顶点的度数为偶数 或者 除了两个度数为奇数外其余的全是偶数。

有向图存在欧拉回路的充要条件
一个有向图存在欧拉回路，所有顶点的入度等于出度且该图是连通图。
有向图存在欧拉路径的充要条件
该图所有顶点 出度=入度 或者 一个顶点 出度=入度+1，另一个顶点 入度=出度+1，其 他顶点 出度=入度。

混合图存在欧拉回路条件
要判断一个混合图G（V,E）（既有有向边又有无向边）是欧拉图，方法如下：
假设有一张图有向图G’，在不论方向的情况下它与G同构。并且G’包含了G的所有有向边。那么如果存在一个图G’使得G’存在欧拉回路，那么G就存在欧拉回路。
其思路就将混合图转换成有向图判断。实现的时候，我们使用网络流的模型。现任意构造一个G’。用Ii表示第i个点的入度，Oi表示第i个点的出度。如果存在一个点k，|Ok-Ik|mod 2=1，那么G不存在欧拉回路。接下来则对于所有Ii>Oi的点从源点连到i一条容量为(Ii-Oi)/2的边，对于所有Ii < Oi的点从i连到汇点一条容量为(Oi-Ii)/2的边。如果对于节点U和V，无向边（U，V）∈E，那么U和V之间互相建立容量为1的边(如果之前预设的方向是U->V，那么网络流建边是V->U，表示可以把一个in变为out)。如果此网络的最大流等于∑|Ii-Oi|/2（满流），那么就存在欧拉回路。