数据结构学习笔记（一）复杂度分析技巧

一、什么是复杂度分析

     数据结构和算法本身解决如何让代码运行得更快，如何让代码更省存储空间。所以执行效率是算法一个非常重要的考量指标。衡量算法代码的执行效率就是复杂度分析，复杂度分析分为时间、空间复杂度分析

二、为什么要复杂度分析

    在运行一段代码的时候可能因为环境的不同执行的效率也不同，比如，分别用 i9 处理器和 i3 处理器来运行同一段代码，不用说，i9 处理器要比 i3 处理器执行的速度快很多。

    还有就是数据规模不一致执行的效率也会不一样，比如说，就一个简单的排序算法为例，我们的要排序的数据是无序的那么执行效率就会慢，但是如果数据本来就是有序的，那排序算法不需要做任何操作，执行效率就会很快

   所以，一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。这就是时间、空间复杂度分析方法。

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大 O 复杂度表示法

看下方代码复杂度分析

 int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

假设每行代码执行的时间都一样，为 unit_time。第 2、3 行代码分别需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 4、5 行都运行了 n 遍，所以需要 2n*unit_time 的执行时间，所以这段代码总的执行时间（以下用T(n)表示）就是T(n) = (2n+2)*unit_time

 

再看一段代码

 int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1;
     for (; j <= n; ++j) {
       sum = sum +  i * j;
     }
   }
 }

同样假设每个语句的执行时间是 unit_time，第 2、3、4 行代码，每行都需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 5、6 行代码循环执行了 n 遍，需要 2n * unit_time 的执行时间，第 7、8 行代码循环执行了 遍，所以需要 2 * unit_time 的执行时间。所以，整段代码总的执行时间 T(n) = (2+2n+3)*unit_time。

由此得到一个重要规律，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比。

总结成一个公式    T(n) = O(f(n))

这个公式中，T(n)表示代码执行的时间；n 表示数据规模的大小；f(n) 表示每行代码执行的次数总和。

公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

所以，第一个例子中的 T(n) = O(2n+2)，第二个例子中的 T(n) = O(2+2n+3)。

大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度，就可以记为：T(n) = O(n)； T(n) = O()。

时间复杂度分析

1. 只关注循环执行次数最多的一段代码

我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了

看例子

 int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

第 2、3 行代码都是常量级的执行时间，与 n 大小无关，对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第 4、5 行代码，所以这块代码要重点分析，这两行代码被执行了 n 次，所以总的时间复杂度就是 O(n)。

2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

上栗子

int cal(int n) {
   int sum_1 = 0;
   int p = 1;
   for (; p < 100; ++p) {
     sum_1 = sum_1 + p;
   }

   int sum_2 = 0;
   int q = 1;
   for (; q < n; ++q) {
     sum_2 = sum_2 + q;
   }
 
   int sum_3 = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1; 
     for (; j <= n; ++j) {
       sum_3 = sum_3 +  i * j;
     }
   }
 
   return sum_1 + sum_2 + sum_3;
 }

这个代码分为三部分，我们可以分析每一部分的时间复杂度，然后把它们放到一块儿，再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。

sum_1时间复杂度 循环了一百次是一个常量的执行时间可以忽略掉，sum_2主要代码在for循环，所以他的时间复杂度就是 O(n)，sum_3是for循环嵌套所以时间复杂度就是O()，取最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度就为 O()。

也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。

3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

上例子

int cal(int n) {
   int ret = 0; 
   int i = 1;
   for (; i < n; ++i) {
     ret = ret + f(i);
   } 
 } 
 
 int f(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i < n; ++i) {
    sum = sum + i;
  } 
  return sum;
 }

单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操作，那第 4～6 行的时间复杂度就是，T1(n) = O(n)。但 f() 函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是 T2(n) = O(n)，所以，整个 cal() 函数的时间复杂度就是，T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O()

几种常见时间复杂度实例分析

  大佬总结的几乎涵盖所有代码复杂度量级

粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。非多项式量级只有两个：O(2n) 和 O(n!)

1. O(1)

 int i = 8;
 int j = 6;
 int sum = i + j;

O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。这段代码，即便有 3 行，它的时间复杂度也是 O(1），而不是 O(3)，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)

2. O(logn)、O(nlogn)

 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }

变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结束，由此可以看出这段代码就是一个等比数列，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(),在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数,我们忽略对数的“底”，所以这段代码最终的时间复杂度表示为 O(logn)

3. O(m+n)、O(m*n)

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}

m 和 n 是表示两个数据规模。无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)，代码的复杂度由两个数据的规模来决定的。

 

下面进入一些复杂的时间复杂度

最好、最坏情况时间复杂度

栗子

// n表示数组array的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       pos = i;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

这段代码要实现的功能是，在一个无序的数组（array）中，查找变量 x 出现的位置。如果没有找到，就返回 -1，要查找的变量 x 可能出现在数组的任意位置。

如果数组中第一个元素正好是要查找的变量 x，那就不需要继续遍历剩下的 n-1 个数据，那时间复杂度就是 O(1)。

但如果数组中不存在变量 x，那我们就需要把整个数组都遍历一遍，时间复杂度就成了 O(n)。

为了表示代码在不同情况下的不同时间复杂度，引入三个概念：最好情况时间复杂度、最坏情况时间复杂度和平均情况时间复杂度。

最好情况时间复杂度就是，在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度。

最坏情况时间复杂度就是，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度。

平均情况时间复杂度就是，这段代码执行时，平均的执行效率复杂度，这个值就是概率论中的加权平均值，也叫作期望值，所以平均时间复杂度的全称应该叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度。

所以上面的这段代码分析，要查找的变量 x 在数组中的位置，有 n+1 种情况：在数组的 0～n-1 位置中和不在数组中，假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2。另外，要查找的数据出现在 0～n-1 这 n 个位置的概率也是一样的，为 1/n。所以，根据概率乘法法则，要查找的数据出现在 0～n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)，加权平均值为 (3n+1)/4。用大 O 表示法来表示，去掉系数和常量，这段代码的加权平均时间复杂度是 O(n)。

均摊时间复杂度

 // array表示一个长度为n的数组
 // 代码中的array.length就等于n
 int[] array = new int[n];
 int count = 0;
 
 void insert(int val) {
    if (count == array.length) {
       int sum = 0;
       for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
          sum = sum + array[i];
       }
       array[0] = sum;
       count = 1;
    }

    array[count] = val;
    ++count;
 }

这段代码实现了一个往数组中插入数据的功能。当数组满了之后，也就是代码中的 count == array.length 时，我们用 for 循环遍历数组求和，并清空数组，将求和之后的 sum 值放到数组的第一个位置，然后再将新的数据插入。

最理想的情况下，数组中有空闲空间，我们只需要将数据插入到数组下标为 count 的位置就可以了，所以最好情况时间复杂度为 O(1)。

最坏的情况下，数组中没有空闲空间了，我们需要先做一次数组的遍历求和，然后再将数据插入，所以最坏情况时间复杂度为 O(n)。

平均时间复杂度是就是 O(1)。

通过概率论的方法来分析。假设数组的长度是 n，根据数据插入的位置的不同，可以分为 n 种情况，每种情况的时间复杂度是 O(1)。

除此之外，还有一种“额外”的情况，就是在数组没有空闲空间时插入一个数据，这个时候的时间复杂度是 O(n)。而且，这 n+1 种情况发生的概率一样，都是 1/(n+1)。所以，根据加权平均的计算方法，我们求得的平均时间复杂度就是：O(1)

对比一下这个 insert() 的例子和前面那个 find() 的例子，你就会发现这两者有很大差别。首先，find() 函数在极端情况下，复杂度才为 O(1)。但 insert() 在大部分情况下，时间复杂度都为 O(1)。只有个别情况下，复杂度才比较高，为 O(n)。这是 insert()第一个区别于 find() 的地方。

第二个不同的地方。对于 insert() 函数来说，O(1) 时间复杂度的插入和 O(n) 时间复杂度的插入，出现的频率是非常有规律的，而且有一定的前后时序关系，一般都是一个 O(n) 插入之后，紧跟着 n-1 个 O(1) 的插入操作，循环往复。所以，针对这样一种特殊场景的复杂度分析，并不需要像平均复杂度分析方法那样，找出所有的输入情况及相应的发生概率，然后再计算加权平均值。针对这种特殊的场景，一种更加简单的分析方法：摊还分析法，通过摊还分析得到的时间复杂度叫均摊时间复杂度。

继续看例子。每一次 O(n) 的插入操作，都会跟着 n-1 次 O(1) 的插入操作，所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操作上，均摊下来，这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1)。均摊时间复杂度就是一种特殊的平均时间复杂度

 

空间复杂度分析

空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

举个例子

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i = 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。
 

总结

复杂度分析并不难，关键在于多练。