状压DP的基本操作

状态压缩动态规划(简称状压dp)是另一类非常典型的动态规划,通常使用在NP问题的小规模求解中,虽然是指数级别的复杂度,但速度比搜索快,其思想非常值得借鉴。

为了更好的理解状压dp,首先介绍位运算相关的知识。

1.’&’符号,x&y,会将两个十进制数在二进制下进行与运算,然后返回其十进制下的值。例如3(11)&2(10)=2(10)。

2.’|’符号,x|y,会将两个十进制数在二进制下进行或运算,然后返回其十进制下的值。例如3(11)|2(10)=3(11)。

3.’^’符号,x^y,会将两个十进制数在二进制下进行异或运算,然后返回其十进制下的值。例如3(11)^2(10)=1(01)。

4.’<<’符号,左移操作,x<<2,将x在二进制下的每一位向左移动两位,最右边用0填充,x<<2相当于让x乘以4。相应的,’>>’是右移操作,x>>1相当于给x/2,去掉x二进制下的最有一位。

这四种运算在状压dp中有着广泛的应用,常见的应用如下:

1.判断一个数字x二进制下第i位是不是等于1。

方法:if ( ( ( 1 << ( i - 1 ) ) & x ) > 0)

将1左移i-1位,相当于制造了一个只有第i位上是1,其他位上都是0的二进制数。然后与x做与运算,如果结果>0,说明x第i位上是1,反之则是0。

2.将一个数字x二进制下第i位更改成1。

方法:x = x | ( 1<<(i-1) )

证明方法与1类似,此处不再重复证明。

3.把一个数字二进制下最靠右的第一个1去掉。

方法:x=x&(x-1)

感兴趣的读者可以自行证明。

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