洛谷P5115 ： SAM + 边分治 + 虚树dp
题意
给出串 S S S， K 1 , K 2 K1,K2 K1,K2，求
∑ 1 ≤ i < j ≤ n L C P ( i , j ) ⋅ L C S ( i , j ) ⋅ [ L C P ( i , j ) ≤ K 1 ] ⋅ [ L C S ( i , j ) ≤ K 2 ] \sum_{1 \le i < j \le n}{LCP(i,j) \cdot LCS(i,j) \cdot [LCP(i,j) \le K1] \cdot [LCS(i,j) \le K2]} 1≤i<j≤n∑LCP(i,j)⋅LCS(i,j)⋅[LCP(i,j)≤K1]⋅[LCS(i,j)≤K2]
题解
不是很懂边分树怎么维护信息的。。。只会边分。
首先对原串 S S S和反串 S ′ S' S′建立SAM，然后取出两棵 p a r e n t parent parent树，然后在 S S S的SAM中找到每个前缀点，以及 S ′ S' S′的SAM中的每个后缀点，分别标号为 1.. i 1..i 1..i。
则求的东西就是
∑ 1 ≤ i < j ≤ n l e n [ L C A ( i , j ) ] ⋅ l e n ′ [ L C A ′ ( i , j ) ] ⋅ [ l e n [ L C A ( i , j ) ] ≤ K 2 ] ⋅ [ l e n ′ [ L C A ′ ( i , j ) ] ≤ K 1 ] \sum_{1 \le i < j \le n}{len[LCA(i,j)] \cdot len'[LCA'(i,j)] \cdot [len[LCA(i,j)] \le K2] \cdot [len'[LCA'(i,j)]\le K1]} 1≤i<j≤n∑len[LCA(i,j)]⋅len′[LCA′(i,j)]⋅[len[LCA(i,j)]≤K2]⋅[len′[LCA′(i,j)]≤K1]
目前为止看起来还是很烦，我们继续处理一下，将 p a r e n t parent parent树看成一个有根有边权（可以负）的树，将每个点的 l e n len len( l e n ′ len' len′)视作是他到根的距离。然后将 S S S的 p a r e n t parent parent树中 l e n > K 2 len > K2 len>K2点的 l e n len len置为0，同理将 S ′ S' S′的 p a r e n t parent parent树中 l e n > K 1 len > K1 len>K1点的 l e n ′ len' len′置为0。之后便可以认为是一棵有边权的树，根据 d e p dep dep来确定每条边的长度。
则求的就是所有点对 在两个数中的LCA的深度之积 的和。即
∑ 1 ≤ i < j ≤ n d e p [ L C A ( i , j ) ] ⋅ d e p ′ [ L C A ′ ( i , j ) ] \sum_{1 \le i < j \le n}{dep[LCA(i,j)]\cdot dep'[LCA'(i,j)]} 1≤i<j≤n∑dep[LCA(i,j)]⋅dep′[LCA′(i,j)]
到这里就是边分的套路了，可以 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)或者 O ( n l o g 2 n ) O(nlog^2n) O(nlog2n)求解。
具体做法是：
先将某一个LCA化简掉，这里化简掉第一个LCA，即原式等价于
∑ 1 ≤ i < j ≤ n 1 2 ⋅ ( d e p [ i ] + d e p [ j ] − d i s ( i , j ) ) ⋅ d e p ′ [ L C A ′ ( i , j ) ] \sum_{1 \le i < j \le n}{\frac{1}{2}\cdot (dep[i] + dep[j] - dis(i,j)) \cdot dep'[LCA'(i,j)]} 1≤i<j≤n∑21⋅(dep[i]+dep[j]−dis(i,j))⋅dep′[LCA′(i,j)]
先对第一棵树加一些点改造（为了保证边分治的正确复杂度），进行边分治。
在分治到某条边 < u , v >
1 2 ⋅ ∑ ( i ∈ L , j ∈ R ) ( d e p [ i ] + d e p [ j ] − d i s ( i , u ) − d i s ( j , v ) − w ) ⋅ d e p ′ [ L C A ′ ( i , j ) ] \frac{1}{2} \cdot\sum_{(i\in L,j\in R)}{(dep[i] + dep[j] - dis(i,u) - dis(j,v) - w) \cdot dep'[LCA'(i,j)]} 21⋅(i∈L,j∈R)∑(dep[i]+dep[j]−dis(i,u)−dis(j,v)−w)⋅dep′[LCA′(i,j)]
观察到 d e p dep dep, d i s dis dis都是定值，设 A [ i ] = { d e p [ i ] − d i s ( i , u ) i ∈ L d e p [ i ] − d i s ( i , v ) i ∈ R A[i]=\left\{\begin{array}{rcl}dep[i] - dis(i,u) & & {i \in L}\\dep[i] - dis(i,v) & & {i\in R}\end{array} \right. A[i]={dep[i]−dis(i,u)dep[i]−dis(i,v)i∈Li∈R则化简为
1 2 ⋅ ∑ i ∈ L , j ∈ R ( A [ i ] + A [ j ] − w ) ⋅ d e p ′ [ L C A ′ ( i , j ) ] \frac{1}{2} \cdot \sum_{i \in L, j \in R}{(A[i] + A[j] - w)\cdot dep'[LCA'(i,j)]} 21⋅i∈L,j∈R∑(A[i]+A[j]−w)⋅dep′[LCA′(i,j)]
到这里成功的把第一棵树彻底扔掉了，于是这个东西很显然在第二棵树搞个虚树，做个01DP就行了。
第二棵树的LCA用RMQ去求,排序用基数排序就可以做到整体复杂度 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)。否则复杂度 O ( n l o g 2 n ) O(nlog^2n) O(nlog2n)。
我压过行了的。。这代码还这么长。。。
// Created by calabash_boy on 2019/10/15.
// Luogu 5115.SAM + 边分 + 虚树DP: Given S, calculate
// \sum_{i
// 最大度数有限制（例如parent树27度），则不需要三度化。
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