[HNOI2009]有趣的数列

题目：洛谷P3200、BZOJ1485、codevs2337。

题目大意：
我们称一个长度为$2n$的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：
1. 它是从$1$到$2n$共$2n$个整数的一个排列$\{a_i\}$；
2. 所有的奇数项满足$a_13. 任意相邻的两项$a{2i-1}$与$a_{2i}(1\leqslant i\leqslant n)$满足奇数项小于偶数项，即：$a{2i-1}现在的任务是：对于给定的$n$，请求出有多少个不同的长度为$2n$的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案$\mod P$的值。
解题思路：
找找规律，发现，答案是卡特兰数。
然而$P$并不一定是质数。
所以用另一个公式：$f_n =\frac{C^n_{2n}}{n+1}=(2n)!\div (n+1)!\div n!$。
并且$f_i$保证是一个整数。
由于我们可以很快地求出$n!$内包含某个质数因子的数量（除一下就行了），所以，我们先求出$2n$以内的质数，然后套公式，统计每个质数因子包含的个数，然后快速幂加到答案里即可。
筛质数用线性筛即可。
时间复杂度$O(n\log n)$。

C++ Code：

#include
#define LoveLive long long
int prm[1000005];
bool isnprm[2000005];
int n,md,cnt=0;
inline LoveLive pow(LoveLive a,int p){
	a%=md;
	LoveLive ans=1;
	while(p){
		if(p&1)ans=ans*a%md;
		a=a*a%md;
		p>>=1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&md);
	int N=n<<1;
	for(int i=2;i<=N;++i){
		if(!isnprm[i])prm[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt&&prm[j]*i<=N;++j){
			isnprm[prm[j]*i]=1;
			if(i%prm[j]==0)break;
		}
	}
	LoveLive ans=1;
	for(int i=1,m;i<=cnt;++i){
		int s=0;
		for(m=N;m/=prm[i];)s+=m;
		for(m=n;m/=prm[i];)s-=m;
		for(m=n+1;m/=prm[i];)s-=m;
		ans=ans*pow(prm[i],s)%md;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

 

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