数组元素交叉排列的算法题(a1 a2 a3 .. an b1 b2 b3 .. bn -->a 1 b1, a2 b2, a3 b3, .. an bn )

题目：给定整数数组，元素为a1 a2 a3 .. an b1 b2 b3 .. bn元素个数为 2n

要求：请生成如下数组，a1 b1, a2 b2, a3 b3, .. an bn.  

条件：时间复杂度为O(N),空间复杂度为O(1).

来源：http://topic.csdn.net/u/20100623/09/dd25166f-bac4-4b2d-98ab-71cab69f4241.html?54216

 

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思路：

1、首先证明当 n=2^k 时，存在时间复杂度为O(N),空间复杂度为O(1)的算法。

2、其次证明对任意n，存在时间复杂度为O(N),空间复杂度为O(1)的算法。

 

 

证明：

1、当 n=2^k 时，存在时间复杂度为O(N),空间复杂度为O(1)的算法。

 

首先，从新编号，从“a1 a2 a3 .. an b1 b2 b3 .. bn” 到“0, 1, ... ，2^k-1， 2^k，... ，2^(k+1)-1”。

设某元素原来的下标为i，变换后的下标为j，则有：j=(2*i)%(2*n-1)。 例如：1-->2 (a2-->a3)， 2-->4 (a3-->a5)。

然后，从1，3，...， n-1依次执行变换。例如n=8，则有：

1-->2-->4-->8-->1

3-->6-->12-->9-->3

5-->10-->5

7-->14-->13-->11-->7

设从i(i=2*k+1)开始变换的一组下标的集合为Si，则可以证明，Si∩Sj=空集，且 ∪Si=全集。

所以，该变换的时间复杂度为O(N),空间复杂度为O(1)的算法。

 

2、对任意n，存在时间复杂度为O(N),空间复杂度为O(1)的算法。

 

对任意n，有n=∑ck*x^k，其中ck=0或1。

因此，可以采用对任意ck=1的情况：

首先，做整体移位，两个2^k连续块放在一起(采用翻转法[1]，时间复杂度为O(N),空间复杂度为O(1))；

其次，对两个2^k连续块采用上面的算法；

然后，对剩余部分再采取前两步的方法，直到k=1。

例如n=11，则有:

第一次：

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21 

变为 0,1,2,3,4,5,6,7,11,12,13,14,15,16,17,18,  8,9,10,19,20,21

然后 0,11,1,12,2,13,3,14,4,15,5,16,6,17,7,18,  8,9,10,19,20,21

第二次：

0,1,2,3,4,5,6,7,11,12,13,14,15,16,17,18,  8,9,10,19,20,21

变为 0,1,2,3,4,5,6,7,11,12,13,14,15,16,17,18,  8,9,19,20,  10,21

然后 0,11,1,12,2,13,3,14,4,15,5,16,6,17,7,18,  8,19,9,20,  10,21

 

证明对任意n该方法的时间复杂度为O(N)，有两种证明方法：

1、采用master theorem[2]，可直接证明。

2、到n=2^k-1时，该算法的时间复杂度最大。因此，只需证明此时的时间复杂度为O(N)。

利用等比数列，可以证明此结论。

 

算法与证明描述结束。

 

 

[1] 编程之美。问题2.17。

[2] 算法导论。定理4.1