图论基本知识点

1.图的定义
由若干个不同顶点与连接其中某些顶点的边所组成的图形就称为图。（顶点的位置以及边的曲直都是无关紧要的，而且也是没有假定这些顶点和边都要在一个平面内，只关心顶点的多少和这些变是连接哪些顶点的），通常用大写字母G表示图，V表示所有顶点的集合，E表示边的集合，记作G = (V, E)。


2.同构
如果两个图G和G1，它们顶点之间可以建立起一对一的对应，并且当且仅当G的顶点Vi与Vj之间有K条边相连的，G1的相应顶点Ui和Uj之间也有K条边相连，则G和G1有相同的结构，称为同构，同构的图没有区别。


3.有限图与无限图
如果顶点个数V与边的条数E都是有限的，图G就是有限图。如果V=1，E=0，图G称为平凡图。这种仅含一个孤立点的图是有限图的特例。如果V或E是无限的，图G称为无限图。


4.子图
如果对图G = （V, E）与G1 = （V1， E1），G1的顶点集是G的顶点集的子集，G1的边集是G的边集的子集，则G1是G的子图。


5.简单图
如果一个图没有环，并且每两个顶点之间最多只有一条边，这样的图称为简单图。


6.完全图
如果G是一个简单图，并且每两个顶点之间都有一条边，就称G为完全图。通常将具有n个顶点的完全图记为Kn。


7.二分图
如果G是一个简单图，它的顶点集合V是由两个没有公共元素的子集X = {X1，X2，……，Xn}与Y = {Y1，Y2，……，Yn}组成的，并且Xi与Xj，Yi与Yj之间没有边连接，则G称为二分图。


8.完全二分图
把图中的顶点分成两个集合，使得第一个集合中的所有顶点都与第二个集合中的所有顶点相连。


9.补图
如果G是一个N个顶点的简单图，从完全图Kn中把属于G的边全部去掉后，得到的图称为G的补图。一个图的补图的补图是本身。


10.相邻&&度数
如果图G的两个顶点Vi与Vj之间有边相连，我们就说Vi与Vj是相邻的，否则Vi与Vj不相邻。如果顶点V是边e的一个断点，就说顶点V和边e是相邻的，e是从V引出的边。从一个顶点V引出的边的条数，称为V的度数。


11.道路
在图G中，一个由不同的边组成的序列e1，e2，……，ei称为从V0到Vi的一条道路，数i称为路长，V0与Vi称为这条道路的两个端点，叫做道路的内点。


12.连通图
如果图G中任意两点都连通时，称G为连通图。


12.一笔画问题
若图G是连通图，且奇顶点的个数等于0或2，并且当且仅当奇顶点的个数为0时，连通图G是一条回路（孤立点可以看作是回路）。


13.K笔画问题

若连通图G有2K个奇顶点，那么图G可以用K笔画成，并且至少用K笔才能画成。

14.连通图
在无向图G中，如果从顶点V到顶点V1有路径，则成V和V1是连通的。如果对于图中任意两个顶点Vi和Vj，Vi和Vj都是连通的，则这个图称为连通图。


15.连通分量
无向图中的极大连通子图称为连通分量。


16.强连通图
在有向图G中，如果对于每一对Vi和Vj，从Vi到Vj和从Vj到Vi都存在路径，则称图G为强连通图。有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。


17.顶连通度K（G）
V1是连通图G的一个顶点子集，在G中删去V1及与V1相关联的边后图不连通，则称V1是G的割顶集。最小割顶集中顶点的个数，记作K（G），叫做G的连通度。规定K（完全图） = 顶点数 - 1，K（不连通图） = K（平凡图） = 0。K（G） = 1时，割顶集中的那个顶点叫做割顶。没有割顶的图叫做块，G中成块的极大子图叫做G的块。


18.边连通度K'（G）
E'是连通图G的一个边子集，在G中删去E'中的边后图不连通，则成E'是G的桥集。若G中已经没有桥集E''，使得E'' < E'，则称E'为G的边连通度，记作K'（G）。E' = 1，E'中的边叫做桥，规定K'（不连通图） = 0， K'（完全图） = 顶点数 - 1.


19.M（边）连通图
对于任意一个连通图G，在计算出上述两个量后，若K（G） >= M,G叫做M连通图，K'（G） >= M,G称为M边连通图。