数论概论 第一章 什么是数论

      校图书馆新馆开了之后我今天第一次去，看到了一本《数论概论》，果断借了，以前学数论总是断断续续，做题需要用什么就马上学什么，没有系统性的学习，所以，我想把这本书看完，顺便写下点心得想法。

      第一章简单介绍了下数论的一些问题，如勾股数，三角数，平方数，孪生素数等等。之前在Matrix67大牛的blog中看到了10个proof without words的flash证明 ，在第一章里看到了高斯证明的n(n+1)/2的方法，感觉很像，flash的证明方法如下：

所以1+2+……+n=n(n+1)/2。

书中给的高斯的证明为

把主对角线单独拿出来考虑而已。

习题1.1

关于 三角平方数 的问题。我感觉WiKi写得很清楚，但是关于递推式是怎么推出来的暂时没有搞懂，等到看组合数学递推的时候再补上吧。

习题1.2

关于1+3+5+...2n+1的问题，很显然=n^2

几何证明在上面提到的flash中有如下几何证明

而我第一反应想到的证明方法是这样的

类似头尾相加的方式。

习题1.3

关于形如（p,p+2,p+4）素数三元组的问题

显然只存在一个(3,5,7)

证明如下：

假设p mod 3=1

则(p+2) mod 3=0 不满足素数条件

假设p mod 3=2

则(p+4) mod 3=0不满足素数条件

除非本身p+2或p+4或p就是3

那么就是(3,5,7)这个情况。

习题1.4

关于是否有无穷多个素数形如n^2-a的问题

很显然如果a是平方数，那么根据平方差公式不可能有无穷多个素数，而对于其他的a来说，我无从证明是否有无穷多个素数，想在网上查点关于这方面的资料也没有查到，望高人来此解答。

习题1.5

关于1+2+..+n公式的推导

他的想法是S=(1+n)+(2+(n-1))+(3+(n-2))...=(n+1)+(n+1)+..+(n+1)

问对于n，这么推导后有多少项n+1？

显然如果是偶数，可以匹配完全，那么项数就是n/2。

如果是奇数，会留一个，这个数是(n+1)/2。剩下的n+1有(n-1)/2个，那么再加上这半个，那么就是n/2个。

那么不管是奇数还是偶数，结果都是n/2个。

那么结果就是n(n+1)/2，满足我们之前得到的公式。