Tick数据模型中的波动性预测 （1）

    在布莱克 - 舒尔斯范例中，时间间隔期内价格对数值变化的方差与时间间隔的长度成比例关系，而且显然这在实践中是不能把握的，就像隐含波动性的笑脸效应所证实的一样。本文阐述在 tick 数据模型中方差如何依赖于 t 的变化而变化，这个结论是由 Rogers 和 Zane 在 1998 年提出来的。

简介

    处理资产价格的简单模型是布莱克-舒尔斯方法成功的关键，这种简单模型假定：时间t时的价格为St，可以表示为exp(X_t)，其中X是布朗运动，具有常值飘移和常值波动。由此可以得出，若价格对数值变化的序列(n=1,……,N)，所对应的固定时间间隔δ>0，那么存在一个独立的高斯随机变量序列，有共同均值和共同方差；可以使用一般的方法计算样本方差来估计共同方差σ²δ。因此，σ²δ除以δ就可以得到σ² 的估计值，该估计值（考虑到样本的波动）不应取决于δ的选值，但实践中却与δ有关。δ值增大，该估计值趋向稳定；但对于数值小的δ（日序列或者日内序列）而言，估计值似乎不好，脱离常规。根据经验观察，可能σ² 估计值的置信度不是很好，或者在接下来的时段预测价格对数值变化的波动性不是很准确。当然，若针对一个具体的时间间隔（例如，期权的过期时间），可以用这一时间间隔作为δ的值，但这只是对问题的一种反应，不是问题的解决办法。

       在此提出的观点是，这一问题是由构建资产模型的基础的失败而造成，而且模型的各种调整都不会关注这个基本问题。这个基本问题就是，价格数据简单的说看不像扩散，至少在时间刻度小的情况下是这样； 交易在一个时间刻度发生一笔，甚至在交易之间的某些时间，价格概念需要仔细定义。从较长时间刻度的总体情况看，扩散近似看起来更逼近，但从较长时间刻度看，必须处理差别很大的模型，对价格数据的离散特性有认识。

       本文探讨一类tick数据模型，讲得出这种情况下的表达式：

              v(t) ≡Var(log(S_t/S₀))  （1）

在确定自然的假设条件下，发现存在正的δ和b的常数值，所以合理较大的时间与tick数据的事件间的时间相比：

              v(t)~ σ² t+b       （2）

在下面的“构建模型框架”中，将用一个具体的单一资产来讨论这一构建模型框架、v的函数形式以及结论。

构建模型框架

Rogers和Zane的方法是构建tick数据本身的模型。一些交易资产交易的tick数据记录有三个数据组成：交易动作发生的时间，资产交易的价格和换手数量。Rogers和Zane假设，针对不同事件的交易量是IID（independent, identically distributed，独立且特点鲜明的分布）；存在一些基本的‘估计’价格过程Z，z的增量是稳定的，因而对数价格值y_i就是在时间T_i点的资产交易价格，表示为：

              Y_i =Z(T_i)+ ε_i          （3）

表达式中，噪声评价ε _i 是 { τ _i , a_i; i ∈Ζ } 上的独立条件，其中 a_i 指第 i 个事件的交易量，ε _i 的分布只取决于 a_i 。这一假设的合理解释是，代理可能准备以异常价格交易，作为一种获取行情敏感度的一种方法或者作为一种获得利益的方法；但代理不大可能打算以异常的价格进行大量的交易。简而言之，大量的交易比少量的交易更多的以 keenly 的价格进行交易。这种建模构架就是要达到这样的效果。当然，可以为了简化起见，假设ε _i 有公共分布的独立量 。    

    仍然要理解事件τ _i 的时间过程是如何产生的。该模型是基于马尔科夫过程 X ，稳定且 状态各异 ，呈非变量分布π。 X 的独立量，我们采用标准泊松计数过程 N ~ ，计数过程：

其中，f为X的状态空间上的正函数。根据Rogers和Zane的解释，可以创建时间的判定性从属变量，从而对观察到的内日活动的形态进行建模，为了简化起见，应假设所有此类结果都是经修正得来的。

     即使这样做了，在不同的股票交易中仍然有不规则现象，交易密集期中夹杂着交易清淡期，这在任何可以预测的形态中都不会出现。因此一些事件处理的随机密度的分类看起来是不可避免的；而且，认识到研判密度会隐含这不同资产的对数价格的变化没有做修正，那么我们就会或多或少的倾向于选择随机密度模型。

       Rogers和Zane给出了几个非常简单的例子，讨论估计模型，因此我们在这里也不对此做更多的阐述。我们转而由这一构架模型创建隐含的v的函数形式。