（算法）ccf201312-4有趣的数，动态规划推导过程，c++参考例程

问题描述

我们把一个数称为有趣的，当且仅当：

1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。
2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。
3. 最高位数字不为0。
   　　因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。
   　　请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。
   　　输入格式
   　　　　输入只有一行，包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。
   　　输出格式
   　　　　输出只有一行，包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。
   　　　　
   样例输入
   4
   样例输出
   3

实现算法

这个算法题显然要用到动态规划的方法解决，关键是找出递推式
思路可以由以下方向入手理解：

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将n个数字组成的有趣数的个数记为g_(n)
需要明确：任何一个n位有趣数，都可以看做是n-1位数，再在其后面追加0-3其中一个数而组成的
在这个组合过程中，有以下两种情况：

• 情况1：n-1个数组成的是有趣数，增加一个后还是有趣数
• 情况2：n-1个数组成的不是有趣数，增加一个后成了有趣数

对于情况1，前n-1位数是由0,1,2,3组成的有趣数，末尾追加1或3（因为要满足有趣数的定义，最后一位不可能是0或2）

对于情况2，又分为几种情况:

• 情况2.1：前n-1位数由0，1，2组成的类有趣数，末尾追加3
• 情况2.2：前n-1位数由0，2，3组成的类有趣数，末尾追加1
  （这里的类有趣数指0-3没有全出现且"有1必有0，有3必有2"的数，简单说就是在末尾加上1或3能够构成有趣数的数）

因此，可以得出结论，g(n)和g(n-1)的关系不只与n有关，还与前n-1位数的状态有关，用一维参数变量就很难表示其递推关系了，所以需用二维参数，我们再记f_(n,s)为n位状态s下的"类有趣数"的个数。而当状态s为0-3都至少出现一次时，也就是四个数都出现过的"类有趣数"，就是我们所求的有趣数。

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明确了以上的推导思路过程，再来看下面推导递推式的过程：
上面得出，我们要用f_(n,s)为n位状态s下的"类有趣数"的个数
现列出所有类有趣数的形式（状态）：

状态0：由2组成
状态1：由2,0组成
状态2：由2,3组成
状态3：由0,1,2组成
状态4：由0,2,3组成
状态5：由0,1,2,3组成（此时为有趣数）

即我们所要求的是f_(n,5)的值

显然

f_(n,5) = 2 × f_(n-1,5) + f_(n-1,3) + f_(n-1,4)

（状态5时在末尾可以追加1、3，状态3时可以追加3，状态4时可以追加1，所有分别乘2、1、1）
类推分别得出f_(n,4)f_(n,3)f_(n,2)f_(n,1)：

f_(n,4) = 2 × f_(n-1,4) + f_(n-1,1) + f_(n-1,2)

f_(n,3) = 2 × f_(n-1,3) + f_(n-1,1)

f_(n,2) = f_(n-1,2) + f_(n-1,0)

f_(n,1) = 2 × f_(n-1,1) + f_(n-1,0)

f_(n,0) = 1

有了递推式，程序实现就简单多了，这里写了一个自底向上的动态规划写法供参考。

参考程序

#include
#define PRIME 1000000007
using namespace std;
_int64 f[1000][6];  //_int64支持vc6.0
void main(){
	int n;
	cin >> n;
	f[1][0] = 1;
	for(int i = 2;i <= n;i++){
		f[i][0] = 1;
		f[i][1] = (2 * f[i-1][1] + f[i-1][0]) % PRIME;
		f[i][2] = (f[i-1][2] + f[i-1][0]) % PRIME;
		f[i][3] = (2 * f[i-1][3] + f[i-1][1]) % PRIME;
		f[i][4] = (2 * f[i-1][4] + f[i-1][1] + f[i-1][2]) % PRIME;
		f[i][5] = (2 * f[i-1][5] + f[i-1][3] + f[i-1][4]) % PRIME;
	}
	printf("%I64d\n",f[n][5]);  
}