面试题1-概率问题

1.n把钥匙开锁，第k次（1=

分析：钥匙开过一次就知道是否能打开，因此是有序排列；只有一把可以打开，前k-1次都没有挑中正确的钥匙

求解1:第一次没打开P(X=0)=(N-1)/N

          第二次没打开P(X=0)=(N-2)/(N-1)

           ...

          第k次打开P(X=1)=1/(N-(k-1))

          概率P=P1*P2*...Pk=1/N

求解2:有序排列，n把锁一共有n!种可能，在第k个位置固定正确的钥匙，其他位置随意，共有(n-1)!种可能

         第k次打开P(X=k)=(n-1)!/n!=1/n

1.1 同类扩展问题1：n个人参与抽签，一共n张彩票，只有一个人会中奖，那么先后抽取的获奖概率是等同的。

1.2 扩展问题2:n个人参与抽签，一共n张彩票，抽到后放回盒子，只有1个人会中奖，那么先后抽的概率还一样吗？

求解1:第一次没打开P(X=0)=(N-1)/N

          第二次没打开P(X=0)=(N-1)/N

           ...

          第k次打开P(X=1)=1/N

          概率P=P1*P2*...Pk=[(N-1)/N]^(K-1)*1/N

越靠后抽中概率越低

2.【配对问题】

从n双不同的手套中任取2r(2r< n)只，求下列事件发生的概率：
（1）没有成双的手套

分析：n双手套一共2n只，没有成双说明2r只取自n双，每双可取左可取右

          所有一共有种取法

P(没有成双手套）=
（2）只有一双手套

n双里边取到一双，

另外（n-1）双取（2r-2）只，一双一只，可取左或右

P（只有一双手套）=
（3）恰有两双手套

n双里边取到一双，

另外（n-2）双取（2r-4）只，一双一只，可取左或右

P（只有两双手套）=

（4）有r双手套

一共取2r只，有r双配对成功，说明取到的全部成对。

P（有r双手套）=

 

3.【古典概率的乱序问题】
有外形相同的n把锁和n把钥匙，每把钥匙只能打开其中的一把锁，现将锁和钥匙随机配对，每对锁和钥匙各一把.

(1)试求第i把锁能被所配对钥匙打开的概率。

n个钥匙随机组合，一共有n!种可能

第i把配对打开，包含在这把钥匙配对打开时其他也有可能打开的情况(n-1)!

P(至少有1把打开）=(n-1)!/n!

(2)试求至少有两把锁能被所配对钥匙打开的概率。

P(至少有2把打开）=

(3)至少有1把能够配对---A或者B或者C

P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

4.【分房问题】

一共有n个人，N间房，（n

每个人等可能分配机会。一共有N^n种情况
问题1:A=某指定的n间房中各有一人；

P(A)=n!/N^n
（2）B=恰有n间房各有一人；

首先挑选出任意n间房，

P(B)=*n!/N^n
（3）C=“某指定的一间房中恰有m人

先挑选m人，

剩余（n-m)人被任意分配到N-1间房中

P(B)=*(N-1)^(n-m)/N^n

 

【5 概率题】

一根木棒，截成三截，组成三角形的概率是多少？
设第一段截x，第二段截y，第三段1-x-y。
1⃣️三条边都是正数且小于原来边长，则有0 2⃣️两边之和大于第三边，x+y>1-x-y，x+1-x-y>y，y+1-x-y>x，化简即得
0 画图可知，此时(x,y)必须在边长为1/2的三角形的右上角的半个直角三角形里，面积为1/8。
于是最终概率为 (1/8)/(1/2) = 1/4。

 

 参考：https://blog.csdn.net/BertDai/article/details/78070092

参考：https://blog.csdn.net/lynn0085/article/details/83628256