Python-递归与动态规划
题目一：
给定数组arr, arr中所有的值都为正数且不重复。每个值代表一种面值的货币，每种面值的货币可以使用任意张，再给定一个整数aim代表要找的钱数，求组成aim的最少货币数。
例arr=[5,2,10,1], aim=5
思路：
1、定义一个len(arr)行aim+1列矩阵，默认值为最大值。
2、初始化，第一列为0，第一行如下每一位代表，aim=0，1，2，3，4，5，一直到5，只需要一张5元。
0 max max max max 1
0
0
0
3、dp[i][j] = min{dp[i-1][j], dp[i][j-arr[i]+1]}
dp[i-1][j]代表直接使用不使用本行面值，dp[i][j-arr[i]]+1代表使用本行
def findmoney(arr,aim):
max=float('inf')
l = [[max for i in range(aim+1)] for i in range(len(arr))]
for i in range(len(arr)):
l[i][0]=0
for i in range(1,aim//arr[0]+1):
l[0][i*arr[0]]=i
for i in range(1,len(arr)):
for j in range(1,aim+1):
left=max
if j-arr[i]>=0:
left=l[i][j-arr[i]]+1
l[i][j]=min(l[i-1][j],left)
print(l)
findmoney([5,2,10,1],20)题一补充：
给定数组arr, arr中所有的值都为正数且不重复。每个值代表一张钱的面值，每种面值的货币可以使用一张，再给定一个整数aim代表要找的钱数，求组成aim的最少货币数。
1、同上一题第一步。
2、第一列同上一题，第一行只将arr[0]位置置1.
3、dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-arr[i]])
dp[i-1][j]代表不使用本行货币
dp[i-1][j-arr[i]]代表使用本行货币
def findmoney(arr,aim):
max=float('inf')
l = [[max for i in range(aim+1)] for i in range(len(arr))]
for i in range(len(arr)):
l[i][0]=0
l[0][arr[0]]=1
for i in range(1,len(arr)):
for j in range(1,aim+1):
left=max
if j-arr[i]>=0:
left=l[i-1][j-arr[i]]+1
l[i][j]=min(l[i-1][j],left)
print(l)
print(l[i][j])
findmoney([5,2,10,1],15)题目二：
给定数组arr, arr中所有的值都为正数且不重复。每个值代表一种面值的货币，每种面值的货币可以使用任意张，再给定一个整数aim代表要找的钱数，求换钱有多少种方法。
例arr=[5,2,10,1], aim=5
思路：
1、定义一个len(arr)行aim+1列矩阵，默认值为0。
2、初始化，第一列为1，代表每个面值都不用，有一种方案，第一行如下每一位代表，aim=0，1，2，3，4，5，一直到5，只需要一张5元。
1 0 0 0 0 1
1 0 1 0 1 0
1
1
3、num=dp[i-1][j-arr[i]*k] for k in range(aim+1); dp[i][j] = num
dp[i-1][j]代表直接使用不使用本行面值，dp[i][j-arr[i]]+1代表使用本行
def findmoney(arr,aim):
# max=float('inf')
# max=float('inf')
# num=0
l = [[0 for i in range(aim+1)] for i in range(len(arr))]
for i in range(len(arr)):
l[i][0]=1
for i in range(1,aim//arr[0]+1):
l[0][i*arr[0]]=1
for i in range(1,len(arr)):
for j in range(1,aim+1):
num=0
for k in range(aim+1):
if j-arr[i]*k>=0:
num+=l[i-1][j-k*arr[i]]
l[i][j]=num
print(l)
print(l[i][j])
findmoney([5,2,10,1],10)优化步骤三：
dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-arr[i]]
def findmoney(arr,aim):
# max=float('inf')
# max=float('inf')
# num=0
l = [[0 for i in range(aim+1)] for i in range(len(arr))]
for i in range(len(arr)):
l[i][0]=1
for i in range(1,aim//arr[0]+1):
l[0][i*arr[0]]=1
for i in range(1,len(arr)):
for j in range(1,aim+1):
l[i][j]=l[i-1][j]
if j-arr[i]>=0:
l[i][j]+=l[i][j-arr[i]]
print(l)
print(l[i][j])
findmoney([5,2,10,1],10)题目三：
给定k个整数+的序列{N1,N2,...,Nk }，其任意连续子序列可表示为{ Ni, Ni+1, ..., Nj }，其中 1 <= i <= j <= k。最大连续子序列是所有连续子序中元素和最大的一个，例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大连续子序列为{11,-4,13}，最大连续子序列和即为20。
def findmax(arr):
n=len(arr)
l=[0 for i in range(n)]
l[0]=arr[0]
for i in range(1,n):
l[i]=max(arr[i]+l[i-1],arr[i])
print(max(l))
findmax([-2,11,-4,13,-5,-2,14])题三扩展：
输出乘积最大序列。
def find(arr):
n=len(arr)
l=[0 for i in range(n)]
g=[0 for i in range(n)]
l[0]=arr[0]
g[0]=arr[0]
for i in range(1,n):
l[i]=max(l[i-1]*arr[i],arr[i],g[i-1]*arr[i])
g[i]=min(l[i-1]*arr[i],arr[i],g[i-1]*arr[i])
print(l[-1])
find([-2, 11, -4, 13, -5, -2])题目四：
亚历克斯和李用几堆石子在做游戏。偶数堆石子排成一行，每堆都有正整数颗石子 piles[i] 。
游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。石子的总数是奇数，所以没有平局。
亚历克斯和李轮流进行，亚历克斯先开始。 每回合，玩家从行的开始或结束处取走整堆石头。 这种情况一直持续到没有更多的石子堆为止，此时手中石子最多的玩家获胜。
假设亚历克斯和李都发挥出最佳水平，当亚历克斯赢得比赛时返回 true ，当李赢得比赛时返回 false 。
示例：
输入：[5,3,4,5] 输出：true 解释： 亚历克斯先开始，只能拿前 5 颗或后 5 颗石子 。 假设他取了前 5 颗，这一行就变成了 [3,4,5] 。 如果李拿走前 3 颗，那么剩下的是 [4,5]，亚历克斯拿走后 5 颗赢得 10 分。 如果李拿走后 5 颗，那么剩下的是 [3,4]，亚历克斯拿走后 4 颗赢得 9 分。 这表明，取前 5 颗石子对亚历克斯来说是一个胜利的举动，所以我们返回 true 。
def stoneGame(piles):
n = len(piles)
dp = piles[:]
for d in range(1, n):
for i in range(n - d):
dp[i] = max(piles[i] - dp[i + 1], piles[i + d] - dp[i])
# print(dp)
print(dp[0])
stoneGame([5,3,4,5])