ccf-csp 201312-4 有趣的数（Java）

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问题描述

我们把一个数称为有趣的，当且仅当：
　　1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。
　　2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。
　　3. 最高位数字不为0。
　　因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。
　　请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。

格式要求

输入格式
　　输入只有一行，包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。
输出格式
　　输出只有一行，包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。
样例输入
4
样例输出
3

解题思路

• 首先我们可以知道开头数字肯定是2
• 对于n位的数字，假定其中包含p个0和1，q个2和3，其中$p,q\ge 2$
• 先为这p个0和1挑选位置，有$C_{n-1}^p$种情况，因为首位置肯定是2，所以只有n-1个位置供挑选
• 接下来再确定p中0和1各有几个，0的数目可以为1到p-1，所以共p-1种情况，对于每一种情况直接将0放到选中的p的空位的前面，1放到空位的后面即可
• 对于q-1个2和3（不算首位的2），2的数目可以为0到q-2，所以共q-1种情况
• 所以共有$\sum _{p=2}^{n-2}(p-1)\ast (n-p-1)$种情况，编写代码求该公式即可

AC代码

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Main {

	static final int NUM = 1000000007;
	
	public static void main(String[] args) {
		Scanner in = new Scanner(System.in);
		int n = in.nextInt();
		in.close();
		System.out.println(getAnswer(n));
	}

	//排列组合法求解
	public static BigInteger getAnswer(int n) {
		BigInteger result = BigInteger.valueOf(0);
		for (int i = 2; i <= n - 2; i++) {
			result = result.add(c(n-1, i).multiply(BigInteger.valueOf((i - 1) * (n - 1 - i))));
		}
		return result.mod(BigInteger.valueOf(NUM));
	}
	
	//组合计算函数
	public static BigInteger c(int n, int k) {
		if (n - k < k)
			k = n - k;
		
		//组合数分子部分，即n*(n-1)*...*(n-k+1)
		BigInteger numerator = BigInteger.valueOf(1);
		//组合数分母部分，即1*2*...*k
		BigInteger denominator = BigInteger.valueOf(1);
		
		for (int i = 0; i < k; i++) {
			numerator = numerator.multiply(BigInteger.valueOf(n-i));
			denominator = denominator.multiply(BigInteger.valueOf(i+1));
		}
		return numerator.divide(denominator);
	}
}

注意事项

• 观察下面一段组合函数求解代码：

	public static BigInteger c(int n, int k) {
		if (n - k < k)
			k = n - k;
		
		BigInteger result = BigInteger.valueOf(1);
		
		for (int i = 0; i < k; i++) {
			result = result.multiply(BigInteger.valueOf(n-i)).divide(BigInteger.valueOf(i+1));
		}
		return result;
	}

看上去好像没有什么问题，甚至比AC代码中的还要简洁，本人就是在这里卡了好长时间，苦死宝宝了，我还是太菜，一直就没往它身上想。
其中result.multiply(BigInteger.valueOf(n-i)).divide(BigInteger.valueOf(i+1))不一定是整数，所以如果采用上面这种写法的话会有精度损失，而且每一步的损失都叠加在了一起，最后一顿冥思苦想不得其解。