曼哈顿距离几何意义 矩形面积并

11.7

思路：
二分ans，把所有长度>mid的（lf，rg）都搞出来，
然后我们要找出一个点对（u，v），使得|x - u| + |y - v| <= mid。
考虑几何意义，曼哈顿距离的图像限定。
把一个区间（lf，rg）转换成一个点（x，y）。
对于每个点（x，y），我们构建出一个以（x，y）为几何中心，
对角线长2*mid，且对角线平行于坐标轴的正方形。
满足条件的（u，v）就在这个正方形当中（可在边上）。
那么要让所有的（x，y）满足条件，就是看所有正方形是否有交。
我们发现斜45度的正方形交不好求，考虑把正方形扳正。
也就是对于所有的点，都围绕原点顺时针旋转45度。
（当然我们维护一条对角线两端的两个点就好了）
这里维护扳正后正方形的左下角右上角，也就是原正方形的上下两个顶点。
我们发现旋转之后的坐标也不好维护，但是如果我们把正方形边长*sqrt(2)，
（x，y）就会转到（y+x，y-x），很好维护。
而且所有的边都*sqrt(2)对求交并没有影响。
其实还应该讨论一下交中有没有整点，不过数据水还是过了。

#include 
#include  
#include 
#define N 2000010
using namespace std;

int n, m;

struct Edge{
    int lf, rg;
}ed[N];

struct Matrix{
    int x1, x2, y1, y2;//1为左下角 2为右上角 
};

bool cmp(Edge a, Edge b){ return a.rg - a.lf > b.rg - b.lf;}

Matrix tra(int i, int K){//把一段区间转成一个矩阵 
    int x = ed[i].lf, y = ed[i].rg;
    Matrix cc;
    cc.x1 = x + y - K, cc.y1 = y - K - x;
    cc.x2 = x + y + K, cc.y2 = y + K - x;
    return cc;
}

bool unionn(Matrix &A, Matrix B){//合并维护交集 
    if(A.x2 < B.x1 || A.x1 > B.x2 || A.y1 > B.y2 || A.y2 < B.y1) return 0;//
    A.x1 = max(A.x1, B.x1), A.y1 = max(A.y1, B.y1);
    A.x2 = min(A.x2, B.x2), A.y2 = min(A.y2, B.y2);
    return 1;
}

bool check(int x){
    int flag = 1, cnt = 0;
    Matrix cc;
    for(int i=1; i<=m; i++)
        if(ed[i].rg - ed[i].lf > x){
            if( !cnt ) cc = tra(i, x), cnt = 1;
            else flag = unionn(cc, tra(i, x));
            if(!flag) return 0;
        }
        else break;
    return 1;
}

int main(){
    freopen ("b.in", "r", stdin);
    freopen ("b.out", "w", stdout);
    int lf = 0, rg = 0, ans = 0;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i=1; i<=m; i++){
        scanf("%d%d", &ed[i].lf, &ed[i].rg);
        rg = max(rg, ed[i].rg - ed[i].lf);
    }
    sort(ed+1, ed+m+1, cmp);
    while(lf <= rg){
        int mid = (lf + rg) >> 1;
        if( check( mid ) )
            rg = mid - 1, ans = mid;
        else lf = mid + 1;
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}