数论相关
上来就不会的gcd相关。见SCB他威胁我去掉了一个后缀的blog好了：https://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/82935140（已经过本人同意）
CRT大体式子应该是记住了233。如下。
方便记忆的话就是我们首先要求所有的pi的lcm然后自己不用算进去就是Pi因为要除掉就是逆元就都乘起来就好了qwq
（这是因为我太弱了所以找了个办法记下来qwq）
这次也是对积性函数和dirichlet卷积有了一个较为准确的认识（你之前是真的蠢
积性函数满足交换律结合律都很好证就不写了
莫反的原因其实就是因为μ和1是逆元所以就可以莫反了qwq
组合计数相关
基本式子啥的不写了（扩展Lucas应该不会考叭不管了QAQ不过好像扩展Lucas并不难...留个坑叭
第一类Stirling
n个数排成m个非空环的方案数
貌似这玩意不怎么考（因为好像没有优化
生成函数扔上来吧
上面的是上升幂式子大概是这个样子
下降幂就是把+改成-
这个我不会233只不过看到网上找不到上升幂下降幂的定义我就写一下（说不定还写错了QAQ
第二类Stirling
n个元素分成m个无序非空集合的方案数（区别于插板，n个元素相互区分）
这几个式子都还不大理解但是先留下以后再看吧
插值
不管不管我就只学拉格朗日插值
挺直观的（虽然还没写过
然后剩下的时间都挂机了
主要是minmax容斥，自然数幂和，伯努利数，差分序列...
讲题人精心准备的题目，难度适中，思路清晰，简直就是NOIP难度好题。233。
Update：真的需要总结一下NOIP的数学相关了
数论
1.GCD
辗转相除法 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
证明：令
。
。证毕。
在用的时候一定记得传参a是较大的数，b是较小的。
相关结论：
， 
。以上两个证明见scb的blog。
2.EXGCD
求解
或者
这两个式子是等价的（一定有解，见裴蜀定理）
推导：设我们已经得到了一组解
终止条件当
时，
，
解得
。
递归回去就好了qwq
贴一份代码吧
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(!b)
{
x=1;y=0;
return;
}
exgcd(b,a%b,x,y);
int k=x;x=y;
y=k-a/b*y;
}如果要求非负整数解的话。
加减对方系数就好了
裴蜀定理我也写一下吧
对于
，一定存在
。
证明：令
。有
显然成立。
3.缩系及相关
定义？集合S满足
，
。
集合中数的个数称为
。
若
，则有
。（欧拉定理）
证明：对于
它们模m应该是互不相同的，所以
模m应该也是互不相同的（很显然啊QAQ）
所以这两个集合中的数应该是一一对应的。（见缩系的定义）
把它们乘起来
Si的乘积肯定是和m互质的所以可以除掉。就剩下
4.CRT
式子我在一开头写了，直接搬下来了
证明懒得写了QAQ
5.线性求逆元
我们要求x的逆元就要把p表示成x的形式
设
等式两边同乘
![inv[i]=-p/i * inv[p\%i] (mod \ p)](http://img.e-com-net.com/image/info8/51aaaf35640d497bbd154cc5924e69ba.gif){kind=small}
log求单个逆元线性求所有逆元
组合
1.Lucas
一些式子
这个就是杨辉三角上的一列，然后画画图就知道了qwq
还是杨辉三角，只不过是斜着一列，也是可以推出来的
组合意义
11.1Update
自然数幂和
首先这玩意可以伯努利数or拉格朗日插值（无奈我这俩都不会）所以我们有一个非常暴力的硬推式子方法。
一次二次都比较常见直接贴下来了。
我来给大家讲一讲怎么硬推三次（雾）感谢scb逼我去掉的后缀教会的我w
我相信你第一步就看蒙了（雾）
其实是这个样子的w
我们对i^3进行差分（相当于对原式进行二次差分）然后我们发现差分后的形式非常吼看（降了一次幂）就可以做啦。
其实就是
。
推这么一波还是很刺激的233
再往上其实都是同理的w
其它
这些可能并不NOIPqwq
线性基（？）传送门
矩乘（？）传送门
斜率优化（？）传送门
高斯消元（？）直接消嘛...
FFT（？）FWT（？）懒得写了QAQ
（为了骗访问量竭尽全力QAQ）