2019牛客暑期多校训练营（第八场）J.Just Jump

题意

有一条长为L LL的河，你在位置0 00你要通过这条长为L LL的河到达L LL，河中从Unexpected text node: ' 'Unexpected text node: ' '1,2,3,⋯,L−1有石子可以踩上去通过，你每一次所走的距离必须要大于等于d dd，并且还存在m mm次攻击，每一次攻击由二元组(ti,pi) (t_i,p_i)(t 
i
​    
 ,p 
i
​    
 )组成，表示，在ti t_it 
i
​    
 次跳跃时落在pi p_ip 
i
​    
 时你就会被攻击，若被攻击你就会失败，求从0 00出发到达L LL的方法数

思路

先考虑没有攻击时总的方案数，有
f[i]=f[1]+f[2]+f[3]+⋯+f[i−d] f[i]=f[1]+f[2]+f[3]+\cdots+f[i-d]
f[i]=f[1]+f[2]+f[3]+⋯+f[i−d]

f[i+1]=f[1]+f[2]+f[3]+⋯+f[i−d]+f[i+1−d] f[i+1]=f[1]+f[2]+f[3]+\cdots+f[i-d]+f[i+1-d]
f[i+1]=f[1]+f[2]+f[3]+⋯+f[i−d]+f[i+1−d]

可以发现我们要是每次维护一个前缀和就可以O(1) O(1)O(1)求得的f[i] f[i]f[i]
f[i]=sum[i−1−d]+f[i−d] f[i]=sum[i-1-d]+f[i-d]
f[i]=sum[i−1−d]+f[i−d]

所以可以在O(L) O(L)O(L)的时间求的总的方法数f[L] f[L]f[L]
那么最终的答案我们可以考虑用f[L] f[L]f[L]去减去被攻击时的方案数，就是最终的答案。
我们考虑一下每一个(t,p) (t,p)(t,p)的贡献，可以分成两部分考虑

从0 00跳t tt次到达p pp，那么我们先考虑没有每次至少跳d dd步的限制，那么就是从0 00到p pp，跳t tt次，每次可以跳任意步数。转换一下可以变为有p pp个球，放到t tt个箱子里，箱子可以为空的方案数，那就可以套用经典的隔板法那么答案就是Ct−1p+t−1 C_{p+t-1}^{t-1}C 
p+t−1
t−1
​    
 。现在有了每次至少跳d dd的限制那么我们可以在一开始p−dt p-dtp−dt，那么剩下的这段距离就是原来的无限制的方案数了，那么方案数就是
Ct−1p−dt+t−1 C_{p-dt+t-1}^{t-1}
C 
p−dt+t−1
t−1
​    
 
从p pp跳到L LL的方案数，这段的方案数其实和从0 00跳到L−p L-pL−p是等价，那么方案数就是f[L−p] f[L-p]f[L−p]
那么每一个攻击的贡献就是这两部分的方案数之积了，解决了某一个攻击的贡献，我们还要考虑一下攻击和攻击之间的关系。我们可以先把攻击按照跳的次数排个序，由于题目中跳跃的次数是没有重复的，我们通过排序后，令dp[i] dp[i]dp[i]为跳ti t_it 
i
​    
 次第一次被攻击时的方案数，那么有转移方程
dp[i]=Cti−1pi−dti+ti−1−∑i−1j=0dp[j]∗Cti−tj−1pi−pj−d(ti−tj)+ti−tj−1 dp[i]=C_{p_i-dt_i+t_i-1}^{t_i-1}-\sum_{j=0}^{i-1}dp[j]*C_{p_i-pj-d(t_i-t_j)+t_i-t_j-1}^{t_i-t_j-1}
dp[i]=C 
p 
i
​    
 −dt 
i
​    
 +t 
i
​    
 −1
t 
i
​    
 −1
​    
 − 
j=0
∑
i−1
​    
 dp[j]∗C 
p 
i
​    
 −pj−d(t 
i
​    
 −t 
j
​    
 )+t 
i
​    
 −t 
j
​    
 −1
t 
i
​    
 −t 
j
​    
 −1
​    
 

dp[i] dp[i]dp[i]的方案数是从0 00到pi p_ip 
i
​    
 跳ti t_it 
i
​    
 次的方案数减去，第j jj(0≤j<i 0\leq j<i0≤j 那么最终的答案就是
ans=f[L]−∑m−1i=0dp[i]∗f[L−pi] ans=f[L]-\sum_{i=0}^{m-1}dp[i]*f[L-p_i]
ans=f[L]− 
i=0
∑
m−1
​    
 dp[i]∗f[L−p 
i
​    
 ]

组合数预处理处理到1e7就好了但是，可能d∗ti d*t_id∗t 
i
​    
 可能会爆int，都改成long long 保险一点
 

转自：https://blog.csdn.net/ftx456789/article/details/99306117

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const ll mod=1e9+7;
const int modp=998244353;
const int maxn=1e7+50;
const double eps=1e-6;
#define lowbit(x)  x&(-x)
#define INF 0x3f3f3f3f
const double inf=0x7fffffff;
inline ll read()
{
    ll x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
int dcmp(double x)
{
    if(fabs(x)0)?1:-1;
}
int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
ll qmod(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=(ans*a)%modp;
        }
        b>>=1;
        a=(a*a)%modp;
    }
    return ans;
}
ll fac[maxn],inv[maxn];
void init(){
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i=0;i--)
        {inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%modp;}
}
ll C(ll n,ll m){
    if(n<0||m<0||n