一个案例讲清楚条件概率与贝叶斯公式

前言

条件概率就是指在一个事件发生时，另一事件发生的概率。概念虽然简单，在实际在使用的时候经常让人搞混淆，所以本文通过一些示例，详细介绍条件概率。

示例：男女司机交通事故概率

某城市有男司机4000名，女司机1000名，2019年发生了250起机动车交通事故，其中男司机造成了210起，女司机造成的事故40起，根据以上数据，当年某起事故后，司机为女性的概率是多少？

设事件 $A$ =“司机每年发生交通事故”，事件 $B$ =“男司机”，事件 $\bar{B}$ = “女司机”，那么有:

• 所有司机每年发生交通事故的概率：$P(A)=250/(4000+1000)=0.050$
• 男性司机每年发生交通事故的概率：$P(A|B)=210/4000=0.0525$
• 女性司机每年发生交通事故的概率：$P(A|\bar{B})=40/1000=0.040$
• 发生交通事故时是男性司机的概率：$P(B|A)=210/250=0.840$
• 发生交通事故时是女性司机的概率：$P(\bar{B}|A)=40/250=0.160$
• 司机为男性的概率：$P(B)=4000/(1000+4000)=0.80$
• 司机为女性的概率：$P(\bar{B})=2000/(1000+4000)=0.20$

为了方便对比，整理如下表所示：

内容	男司机	女司机	备注
总事故率	-	-	总计为 $P(A)=0.05$，不分男女。
性别概率	$P(B)=0.80$	$P(\bar{B})=0.20$
性别事故率	$P(A$|$B)=0.0525$	$P(A$|$\bar{B})=0.040$	在性别确认的情况下，统计事故率。
事故性别率	$P(B$|$A)=210/250=0.840$	$P(\bar{B}$|$A)=40/250=0.160$	在事故确定的情况下，统计性别比例。

贝叶斯公式

根据贝叶斯公式，可得：
$$P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})}=\frac{0.0525\times 0.80}{0.0525\times 0.80+0.04\times 0.20}=0.84$$

$$P(\bar{B}|A)=\frac{P(A|\bar{B})P(\bar{B})}{P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})}=\frac{0.16\times 0.333}{0.84\times 0.667+0.16\times 0.333}=0.16$$

与上面直接计算的结果一致。

我们再来统计 $P(AB)$ 和 $P(A\bar{B})$，由于 $P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A|B)P(B)$，所以分别可以计算如下：
$$\begin{gathered} P(AB)=P(B|A)P(A)=0.84\ast 0.05=0.42 \\ P(AB)=P(A|B)P(B)=0.0525\ast 0.80=0.42 \end{gathered}$$

可见，两种计算方式结果相同。同样地，对于$P(A\bar{B})$ 有：

$P(A\bar{B})=P(\bar{B}|A)P(A)=0.16\ast 0.05=0.08$
$P(A\bar{B})=P(A|\bar{B})P(\bar{B})=0.040\ast 0.20=0.08$

全概率公式

另外，根据全概率公式：$P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})$，将数据代入，可得$$P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})=0.0525\ast 0.80+0.04\ast 0.20=0.05=P(A)$$

结果与预期一致。

小结

综上所述，在条件概率 $P(Y|X)$中，$X$ 是已经发生了的确定事件，即概率的条件，而 $Y$ 是要求的概率。比如，求“女司机的事故概率”，女司机是已经确定的，而所要求的是事故概率，所以概率表达式为 $P(事故|女司机)$。反之，如果是求事故发生时女司机的概率，那么事故是已经发生的，是前提条件，所要求的是女司机的概率，所以表达式可以写成 $P(女司机|事故)$，这就是条件概率的本质含义。