费解的开关 高斯消元

费解的开关
你玩过“拉灯”游戏吗？25盏灯排成一个5x5的方形。每一个灯都有一个开关，游戏者可以改变它的状态。每一步，游戏者可以改变某一个灯的状态。游戏者改变一个灯的状态会产生连锁反应：和这个灯上下左右相邻的灯也要相应地改变其状态。
我们用数字“1”表示一盏开着的灯，用数字“0”表示关着的灯。下面这种状态
10111
01101
10111
10000
11011
在改变了最左上角的灯的状态后将变成：
01111
11101
10111
10000
11011
再改变它正中间的灯后状态将变成：
01111
11001
11001
10100
11011
给定一些游戏的初始状态，编写程序判断游戏者是否可能在6步以内使所有的灯都变亮。
输入描述:
第一行有一个正整数n，代表数据中共有n个待解决的游戏初始状态。
以下若干行数据分为n组，每组数据有5行，每行5个字符。每组数据描述了一个游戏的初始状态。各组数据间用一个空行分隔。
对于30%的数据，n≤5；
对于100%的数据，n≤500。
输出描述:
输出数据一共有n行，每行有一个小于等于6的整数，它表示对于输入数据中对应的游戏状态最少需要几步才能使所有灯变亮。
对于某一个游戏初始状态，若6步以内无法使所有灯变亮，请输出“-1”。
输入

3
00111
01011
10001
11010
11100

11101
11101
11110
11111
11111

01111
11111
11111
11111
11111

输出

3
2
-1

一个点最多操作一次，$k_x$表示x点操作的次数,只能为1/0，a,b,c,d分别是x旁边的四个点
则有：
$A_x{k}_x\oplus A_a{k}_a\oplus A_b{k}_b\oplus A_c{k}_c\oplus A_d{k}_d=!V_x$
k就是所求变量，$min(\sum k_i)$即为答案
A是系数，所以可以消元，消元之后不一定有唯一解，可能有多个自由变元

#include
using namespace std;
#define Init(a,v) memset(a,v,sizeof(a))
#define lowbit(x) (x&(-x))
bool mat[30][30];
inline int nbit(int x){//返回x在二进制下1的个数
    int res=0;
    while(x){
        res++;
        x-=lowbit(x);
    }return res;
}
int gauss(int row,int col){
    for(int i=1;i<=row;++i){
        if(!mat[i][i]){
            int r=i;
            while(++r<=row)if(mat[r][i])break;
            if(r>row)continue;
            for(int j=i;j<=col;++j)swap(mat[i][j],mat[r][j]);
        }
        for(int r=1;r<=row;++r){
            if(r==i||mat[r][i]==0)continue;
            for(int j=i;j<=col;++j)mat[r][j]^=mat[i][j];
        }
    }
    //以上就是正常的消元
    int num=0;//自由变量的个数
    for(int i=1;i<=row;++i){
        if(mat[i][i]==0&&mat[i][col]==1)return -1;//无解
        if(mat[i][i]==0)num++;//+1
    }
    int res[30];//自由变元对应的系数（二进制）
    for(int i=1;i<=row-num;++i){
        res[i]=0;
        for(int j=row-num+1;j<col;++j)res[i]=(res[i]<<1)+mat[i][j];
    }
    int ans=7;
    //枚举自由变量的取值
    for(int i=0;i<(1<<num);++i){
        int t_ans=nbit(i);//自由变元里操作的次数
        for(int r=1;r<=row-num;++r)t_ans+=(nbit(res[r]&i)+mat[r][col])&1;
        //两个二进制数按位与相当于对应二进制位相乘
        ans=min(ans,t_ans);
    }return ans>6?-1:ans;
}
char mp[8][8];
int dx[]={0,0,1,-1},dy[]={1,-1,0,0};
bool ok(int i,int j){return i>0&&i<6&&j>0&&j<6;}
int id(int i,int j){return (i-1)*5+j;}
int main() {
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        Init(mat,0);
        for(int i=1;i<=5;++i)scanf("%s",mp[i]+1);
        for(int i=1;i<=5;++i){
            for(int j=1;j<=5;++j){
                for(int k=0;k<4;++k){
                    int x=i+dx[k];
                    int y=j+dy[k];
                    if(ok(x,y))mat[id(i,j)][id(x,y)]=1;
                }
                mat[id(i,j)][id(i,j)]=1;
                mat[id(i,j)][26]=1-(mp[i][j]-48);
            }
        }
        printf("%d\n",gauss(25,26));
    }
    return 0;
}