图的割点算法vs图的割边算法

图的割点

在一个无向连通图中，如果删除某个顶点后，图不再连通（即任意两点之间不能相互到达），我们称这样的顶点为割点（或者称割顶）。

上图中的2号顶点就是割点，因为删除2号后，4,5不通，1,6也不通。

很容易想到的方法是：依次删除每一个顶点，然后用dfs或者bfs来检查图是否依然连通。如果删除某个顶点后，导致图不再连通，那么刚才删除的顶点就是割点。

这种方法的时间复杂度是O(N(N+M))。

下面寻找复杂度低的方法来解决。

dfs遍历上图后，如下图，圆圈中数字是顶点编号，圆圈右上角的数表示这个顶点在遍历时是第几个被访问到的，叫做“时间戳”。

基本思路：

假如我们在dfs时访问到了u点，此时图就会被u点分割成为两部分。一部分是已经被访问过的点，另一部分是没有被访问过的点。如果u点是割点，那么剩下的没有被访问过的点中至少有一个点在不经过u点的情况下，是无论如何再也回不到已经访问过的点了。假如到了u后，图中还有顶点v是没有访问过的点，如何判断v在不经过u的情况下是否还能回到之前访问过的任意一个点？u是v的父亲，而之前访问过的顶点就是祖先。也就是如何检测v在不经过父亲u的情况下还能否回到祖先。那就是对v再进行一次dfs，但此次遍历不经过u，看能否回到祖先。不能u即为割点。

我们需要一个数组low来记录每个顶点在不经过父顶点时，能够回到的最小“时间戳”。

对于某个顶点u，如果存在至少一个顶点v（u的儿子），使得low[v]>=num[u]，即不能回到祖先，那么u点为割点。

输入数据：

运行结果：

上述用邻接矩阵存储图，时间复杂度为O(N^2)。因为边的处理就需要N^2的时间。

如果改有邻接表存储，算法时间复杂度降为O(M+N)。

图的割边

即在一个无向连通图中，如果删除某条边后，图不再连通，则成为割边。

求割边时，只需要将求割点的算法修改一个符号即可。只需要将low[v]>=num[u]改为low[v]>num[u]。

因为low[v]>=num[u]代表的是v不可能在不经过父亲u而回到祖先。如果low[v]=num[u]，表示还可以回到父亲。而low[v]>num[u]则表示连父亲都回不到了。倘若顶点v不能回到祖先，也没有另外一条路能回到父亲，那么u-v就是割边。

同样，用邻接矩阵存储图，时间复杂度为O(N^2)。如果改有邻接表存储，算法时间复杂度降为O(M+N)。