8月15日自学同济版高数笔记（第一章第5~6节））

第一章第5节 极限的运算法则

定理1

两个无穷小的和是无穷小

定理2

有界函数与无穷小的乘积是无穷小

推论1
常数与无穷小的乘积是无穷小

推论2
有限个无穷小的乘积是无穷小

定理3

如果$\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$，那么
$(1)\lim [f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x)=A\pm B$
$(2)\lim [f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot \lim g(x)=A\cdot B$
$(3)$若又有$B\ne 0$，则
$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}$

推论1
如果$\lim f(x)$存在，而$c$为常数，那么
$\lim [cf(x)]=c\lim f(x)$

推论2
如果$\lim f(x)$存在，而$n$是正整数，那么
$\lim [f(x){]}^n=[\lim f(x){]}^n$

定理4

设有数列$\{x_n\}，\{y_n\}$，如果
$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A，\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=B$，
那么
$(1)\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n\pm y_n)=A\pm B$
$(2)\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n\cdot y_n)=A\cdot B$
$(3)$当$y_n\ne 0(n=1,2,...)$且$B\ne 0$时，$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\frac{A}{B}$

定理5

如果$\phi (x)\ge \psi (x)$，而$\lim \phi (x)=A，\lim \psi (x)=B，$那么$A\ge B$

求$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}$
解
因为$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }(\sin x\cdot \frac{1}{x})$
因为$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$$
且$\sin x$是有界函数
根据本节定理2，有：
$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }(\sin x\cdot \frac{1}{x})=0$

定理6（复合函数的极限运算法则）

设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$符合而成，$f[g(x)]$在点$x_0$的某去心领域内有定义，若$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=u_0，\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=A$，且存在${\delta }_0>0$，当$x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_o)$时，有$g(x)\ne u_0$，则
$\underset{x\to x_0}{\lim }f[g(x)]=\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=A$

第6节 极限存在准则 两个重要极限

准则I

如果数列$\{x_n\}，\{y_n\}，\{z_n\}$满足下列条件：
$(1)$从某项起，即$\exists n_0\in N_{+}$，当$n>n_0$时，有
$y_n\le x_n\le z_n$
$(2)\underset{y\to \infty }{\lim }=a，\underset{z\to \infty }{\lim }=a$
那么数列$\{x_n\}$的极限存在，且$\underset{x\to \infty }{\lim }=a$

准则I${}^{\prime }$

如果
$(1)$当$x\in \mathring{U}(x_0,r)$（或$|x|>M$）时，
$g(x)\le f(x)\le h(x)$
$(2)\underset{x\to x_0(x\to \infty )}{\lim }g(x)=A，\underset{x\to x_0(x\to \infty )}{\lim }h(x)=A$
那么$\underset{x\to x_0(x\to \infty )}{\lim }f(x)$存在，且等于$A$

准则I及准则I${}^{\prime }$称为夹逼准则

证明：$\underset{x\to 0}{\lim }\cos x=1$
证：当$0<|x|<\frac{\pi }{2}$时，
$0<|cosx-1|=1-\cos x=2{\sin }^2\frac{x}{2}<2(\frac{x}{2}{)}^2=\frac{x^2}{2}$（因为$\sin x<x$）
即
$0<1-\cos x<\frac{x^2}{2}$
当$x\to 0$时，$\frac{x^2}{2}\to 0$，由准则I${}^{\prime }$有
$\underset{x\to 0}{\lim }1-\cos x=0$
所以$\underset{x\to 0}{\lim }\cos x=1$

证明：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$
证明：

因为
$△AOB$的面积$<$扇形$AOB$的面积$<△AOD$的面积
所以
$\frac{1}{2}\sin x<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2}\tan x$
即
$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$
因为$\underset{x\to 0}{\lim }\cos x=1，$由准则I${}^{\prime }$有：
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}$
解 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x})=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}\cdot \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cos x}=1$

准则II（单调有界数列必有极限）

如果数列$\{x_n\}$满足条件
$x_1\le x_2\le x_3\le ...\le x_n\le x_{n+1}\le ...$
就称数列$\{x_n\}$是单调增加的
如果数列$\{x_n\}$满足条件
$x_1\ge x_2\ge x_3\ge ...\ge x_n\ge x_{n+1}\ge ...$
就称数列$\{x_n\}$是单调减少的

结合准则II及牛顿二项公式（待补）可证明：

$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

准则II${}^{\prime }$

设函数$f(x)$在点$x_0$的某个左邻域内单调并且有界，则$f(x)$在$x_0$的左极限$f(x_0^{-})$必定存在

柯西极限存在准则（有时也叫做柯西审敛原理）

数列$\{x_n\}$收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数$\epsilon$，存在正整数$N$，使得当$m>N，n>N$时，有
$|x_n-x_m|<\epsilon$