几个余数的定理和性质以及它们的应用

数论中除了整除以外,还有一个很重要也很难的知识点,就是余数,理解余数性质时,要与整除性联系起来,从被除数中减掉余数,那么所得到的差就能够被除数整除了.在一些题目中因为余数的存在,不便于我们计算,去掉余数,回到我们比较熟悉的整除性问题,那么问题就会变得简单了,这样就需要用到余数中一个非常重要的定理—同余定理。

同余定义
如果a,b除以c的余数相同,就称a,b对于除数c来说是同余的,且有a与b的差能被c整除.(a,b,c均为自然数)
例如:17与13除以3的余数都是2,所以(17-11)能被3整除.

同余定理
①如果 a%b = c, 则有(a+kb)%b = c; (k为非0整数)
②如果 a%b = c, 则有(k*a)%b = k*c%b; (k为正整数)
③(a+b)%c = ((a%c) + (b%c)) % c;
④(a*b)%c = ((a%c)*(b%c)) % c;

(一)可加性
a
与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数).
例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4.
注意:当余数之和大于除数时,所求余数等于余数之和再除以c的余数.
例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。
(二)可减性
a
与b的差除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之差.
例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23-16)除以5的余数等于3-1=2.
注意:当较大数的余数小于较小数的余数时,所求余数等于c减去余数之差.
例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以 除以(23-19)的余数等于5-(4-3)=4.
(三)可乘性
a
与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数).
例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以除以5的余数等于3*1 = 3.  
注意:当余数之积大于除数时,所求余数等于余数之积再除以c的余数.
例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以 除以5的余数等于3*4除以5的余数.
(四)乘方性
如果a与b除以m的余数相同,那么a^n与b^n除以m的余数也相同,但不一定等于原余数.

例如:3,7除以4的余数都是3,可以算得3^2和7^2除以4的余数都等于1,它们的余数相等但不一定等于3.
余数判别法
当一个数N不能被另一个数整除时,虽然可以用长除法去求得余数,但当被除位数较多时,计算是很麻烦的.建立余数判别法的基本思想是:为了求出“N被m除的余数”,我们希望找到一个较简单的数R,使得:N与R对于除数m同余.由于R是一个较简单的数,所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数.

下面列出几个常用到的规律
⑴整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数;
⑵整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数;
⑶整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数;
⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数;
⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数;

再加一个整理的结论
能被7、13、11整除的特征(实际是一个方法)是这样的:
将一个多于4位的整数在百位与千位之间分为两截,形成两个数,左边的数原来的千位、万位成为个位、十位(依次类推)。
将这两个新数相减(较大的数减较小的数),所得的差不改变原来数能被7、11、13整除的特性,如果所得的差依然大于999,再次进行上一步,直到所得的差小于1000为止。
例如:判断71858332能否被7、11、13整除,这个数比较大,
将它分成71858、332两个数(右边是三位数)
71858-332=71526;
再将71526分成71、526两个数(右边是三位数)
526-71=455;
由于455数比原数小得多,
相对来说容易判断455能被7和13整除,不能被11整除,
所以原来的71858332能被7和13整除,不能被11整除。

同余问题

"差同减差,和同加和,余同取余,最小公倍加"

所谓同余问题,就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数,反求这个数,称作同余问题。
首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数,下面以4、5、6为例,请记住它们的最小公倍数是60。

1、差同减差:用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的差相同,
此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,减去这个相同的差数,称为:“差同减差”。
例:“一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3”,因为4-1=5-2=6-3=3,所以取-3,表示为60n-3。

2、和同加和:用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的和相同,
此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的和数,称为:“和同加和”。
例:“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”,因为4+3=5+2=6+1=7,所以取+7,表示为60n+7。

3、余同取余:用一个数除以几个不同的数,得到的余数相同,
此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的余数,称为:“余同取余”。
例:“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,因为余数都是1,所以取+1,表示为60n+1。

4、最小公倍加:所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍(即上面1、2、3中的60n)都满足条件,
称为:“最小公倍加”,也称为:“公倍数作周期”。

一般关于余数的题目根据"差同减差,和同加和,余同取余,最小公倍加"就可以解出正确答案,但是好多关于余数的题目,不是仅仅知道上面17个字就能解题的,是对余数三大定理的灵活应用。


下面列几个例题,涉及中国剩余定理和大数求余通过同余性质化大为小

1.

几个余数的定理和性质以及它们的应用_第1张图片

2.

几个余数的定理和性质以及它们的应用_第2张图片

3.

几个余数的定理和性质以及它们的应用_第3张图片

4.

几个余数的定理和性质以及它们的应用_第4张图片

5.

几个余数的定理和性质以及它们的应用_第5张图片

6.

几个余数的定理和性质以及它们的应用_第6张图片

7.

几个余数的定理和性质以及它们的应用_第7张图片


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参考文献:

1. https://m.baidu.com/sf?word=%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%A2%AB7%2C11%2C13%E9%99%A4&mod=0&tn=nohead&pd=mms_mip&actname=act_sf_mip&title=m.iask.sina.com.cn&top=%7B%22sfhs%22%3A4%7D&ext=%7B%22url%22%3A%22%252F%252Fmipcache.bdstatic.com%252Fc%252Fm.iask.sina.com.cn%252Fmib%252F7984953.html%22%2C%22lid%22%3A%226954746286328527479%22%7D&lid=6954746286328527479&ms=1&frsrcid=1529&frorder=5

2.https://m.sanwen8.cn/p/50fKnDj.html

3.http://www.360doc.com/content/14/0611/15/14219218_385707038.shtml

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