欧拉回路

其实感觉这个东西还是挺基础的，然而我还是不太清楚它是什么。。。

欧拉路径：图G中的一条路径恰通过G中每条边一次。
欧拉回路：若一条欧拉路径最后回到起点，则称为欧拉回路。
半欧拉图：存在欧拉路径但不存在欧拉回路的图。
欧拉图：存在欧拉回路的图。

定理：
1.若无向图G为欧拉图，当且仅当G为连通图且G中所有点的度（出度和入度的和）为偶数。
推论：若无向图G为半欧拉图，当且仅当G为连通图且G除了两个顶点外，其余所有点的度为偶数。

2.若有向图G为欧拉图，当且仅当G的基图（有向图的所有有向边都变为无向边）为连通图且G中所有点的入度等于出度
推论：若有向图G为半欧拉图，当且仅当G的基图为连通图且存在点u的出度比入度大1，点v的出度比入度小1

【根据这两个性质可以判断一个有向/无向图是否存在欧拉回路/欧拉路径】

3.混合图欧拉回路
网络流

方法：
１；把无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。
２；构造网络流模型：
1.有向边无法变向，删之。
2.上面的1中我们已经将无向图变为有向图了，对这个图建图，容量上限为1。
3.另新建s，t，
若u的出度>入度，连接（s，u） 容量为（u的出度-u的入度）/2;
若u的出度<入度，连接（u，t） 容量为（u的入度-u的出度）/2;
4.查看是否有满流(最大流==所有流向汇点的流量)的分配 有就是有欧拉回路，没有则是没有。

原理：
当我们在步骤1后，就得到了一些点，出入度之差为偶数，而我们知道 当每个点入度=出度的时候，就存在欧拉回路，所以我们就需要将x=出入度之差/2条变反向就能得到这个点入度=出度。
问题就变成了如何找到这些需要反向的边。
跑完网络流后，查看流值分配，将所有流量非 0（上限是1，流值不是0就是1）的边反向。
因为连接s的点出度大于入度，而这些出的边满流了，所以我们将它反向一下就入度=出度了，对于与t相连的边同理。对于没有和s，t相连的点，它们本来就保持了出入度相等，所以就无所谓啦。

混合图欧拉路径
先上述方法判断是否存在欧拉回路，如果存在就肯定有欧拉路径。
如果欧拉回路不存在，枚举欧拉路径的起点和终点，中间连一条无向边，然后再用上述方法判断是否存在欧拉回路即可。

【基础个p麻烦死了】

应用：
1。一笔画问题
2。欧拉发现这个回路的那个桥的问题（实在记不到叫啥名字）

很少的例题：
欧拉路径判断：
有向图 POJ 1386
混合图 POJ 1647

欧拉路径输出解 POJ 2230