[01背包] Pieces of Parentheses (未完)

题意

有n个只含左右括号的字符串（长度不超过300），求选出几个字符串组成一个括号匹配的字符串的最大长度。

题解

开始考虑时，想用三个状态变量表示状态。定义表示处理到第个字符串，待匹配的左右括号数分被为和时的最大长度。状态转移方程为。实现时用刷表的方法。

然而这样写有一个很大的问题，这种dp只能处理左右待匹配的括号数最大只有300的情况。而本题最多会有90000个待匹配的左（右）括号。这样的话，开三维数组开不下，而且时间复杂度也太高。

之后看了网上代码，发现了一种优化算法。

再次分析问题可以发现，所有的括号字符串可以归纳为如下形式，*表示左右括号已匹配的子段，不同字符串未匹配的括号数不同，且右括号在左，左括号在右。而要将几个字符串组合起来，第一字符串必然为，最后一个必然为。

这样，就可以得到另一种解决这个问题的步骤。先将所有字符串排列成如下形式：

之后依次选取字符串，这样就可以保证已经拼好的字符串中只有未匹配的左括号。整个过程中，拼接字符串的未匹配左括号数会先增大，之后减小到0。由此状态得到简化，可定义为表示处理到第i个字符串且已拼好的字符串的待匹配左括号数为j的最大长度。状态转移方程也就可以直接参考01背包。

---

回顾整个过程，个人认为比较重要的一步是将字符串进行了排序（预处理）。这种预处理与题意紧密相连，可以看作一种找规律。

在该题中，这种规律的目的是减少我们要考虑的决策。在自己最开始考虑的状态中，要考虑将字符串拼接到左边还是右边，或是不拼。而在之后的状态中，只需要考虑是否将该字符串拼到右边。

不过这种方法是否是一个普遍方法还有待检验。

---

代码细节日后补。

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn = 305;

int dp[maxn][maxn*maxn];
int n;
int len[maxn],L[maxn],R[maxn],r[maxn];

bool cmp(const int a,const int b){
    if(!(R[a]) ^ !(R[b])) return R[a]L[b];
    return L[a]-R[a]>L[b]-R[b];
}

int main(){
    scanf("%d", &n);
    char st[maxn];
    for(int i = 1; i<=n; i++){
        r[i] = i;
        scanf("%s", st);
        len[i] = strlen(st);
        L[i] = R[i] = 0;
        int cnt = 0;
        for(int j = 0; j0) --cnt;
                else R[i]++;
            }
        }
        L[i] = cnt;
    }
    sort(r+1, r+n+1, cmp);//这里用了外排序
    int MAX = maxn*maxn;
    for(int i = 0; i<=n; i++)
    for(int j = 0; j=L[r[i]]) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-dv]+len[r[i]]);
        }
    }
    printf("%d", dp[n][0]);
}