树链剖分之长链剖分 详解 题目整理

树链剖分

题目中出现的树链剖分一般分为两种，重链剖分和长链剖分

• 重链剖分：选择子树最大的儿子， 将其归入当前点所在 的同一条重链
• 长链剖分：选择向下能达到的深 度最深的儿子，将其归 入当前点所在的同一 条长链

重剖主要用于维护子树信息和链信息，长剖主要用于维护子树中只与深度有关的信息

长剖

从根开始对树进行深度优先搜索，同时优先搜索子树深度最深的儿子

优先搜索子树深度最深的儿子 (以下以重儿子表示) 使得 每条长链在 dfs 序上是连续的

• 树被切分为多条长链
• 一条长链顶端点的父亲节点所在长链一定长于这条长链，一个点 k 级祖先所在长链一定长于 k
• 任一点到根最多经过 $\sqrt{n}$ 条长链，所有长链 总长度为 $O(n)$
• 能够在线性时间维护 子树中只与深度有关 的信息

k级祖先

重剖

重链剖分，还是根据$O(logn)$条轻链的性质，如果k级组先就在当前重链上则直接找到，否则往上一条重链跳。复杂度$O(logn)$

长剖

1. $O(nlogn)$ 求祖先 ST 表
2. O(n) 求出每个长链顶端 1 到 len(x) 级祖先和重儿子
3. O(n) 预处理每个数字最高位 1 的位数 b[i]
4. 对于 k 级祖先，我们先求 ST 表 2b[k] 级祖先
5. 其长链信息一定大于 k−2b[k]，直接 O(1) 查表即可

详解链接

长链剖分优化树上DP

O(n)统计每个点子树中以深度为下标的可合并信息

长链剖分

我们首先要预处理以下内容

• 节点的深度
• 节点的重儿子（子树深度最深的儿子）
• 长链的长度

int deep[maxn], h_size[maxn], son[maxn];
//deep记录深度,h_size记录重链长度,son记录重儿子
void dfs1(int now, int f) {
	deep[now] = deep[f] + 1;
	h_size[now] = deep[now];
	for (int i = head[now]; i; i = edge[i].next) {
		if (f == edge[i].v)continue;
		dfs1(edge[i].v, now);
		h_size[now] = max(h_size[now], h_size[edge[i].v]);
		if (h_size[edge[i].v] > h_size[son[now]])
			son[now] = edge[i].v;		//长度最大的为重儿子
	}
}

树上DP

• 数组大小
  数组大小只需要开$tmp[maxn]$,即为所有长链的点的总数
  状态数组$\ast sum[maxn]$,指向$tmp$上，长链所在区间
  $\ast id$用于维护长链区间的移动

• 数组维护
  $sum[i][d]$表示节点$i$的深度为$d$的状态

• 重链的继承
  $sum[i][j]=sum[i][j+1]$为某节点的深度x的状态可以直接继承其长链深度为x+1的
  $sum[i]=sum[j]+1$

• 轻链的合并
  直接将轻链合并到重链即可
  由于每个点只会合并一次，复杂度为O(n)

特别注意，这样实现也有相应的缺点，即若动规的数组高于一维，那么数组是一次性的，不能在完成转移后查询中间过程的值。
原因是部分内存被共用掉了

int* sum[maxn], tmp[maxn], * id = tmp;
//sum为数组指针,数组总大小为maxn(所有长链加起来为n个点),id为指针
void dfs(int now, int f) {
	sum[now][0] = 1;
	if (son[now]) {
		sum[son[now]] = sum[now] + 1;	//继承其长链,sum[fx][i+1]=sum[x][i]
		dfs(son[now], now);
	}
	for (int i = head[now]; i; i = edge[i].next) {
		if (edge[i].v == f || edge[i].v == son[now])continue;
		sum[edge[i].v] = id;		//数组开始点
		id += h_size[edge[i].v] - deep[edge[i].v] + 1;	//开数组长度为长链长度
		dfs(edge[i].v, now);
		for (int j = 1; j <= h_size[edge[i].v] - deep[edge[i].v] + 1; j++) {
			//DP() ,dp方程
		}
	}
	
}

CF1009F Dominant Indices

题意

给定一棵根为 1 的树， 对于每个节点，求子树 中，哪个距离下的节点 数量最多
当数量相同时，取较小 的那个距离值

思路

我们对树进行长链剖分，记录$sum[x]$数组表 示节点x不同距离的点的数量
同一条长链中$sum[fx][i+1]=sum[x][i]$， 直接继承长链，暴力轻 儿子即可

CF570D Tree Requests

题意：

给定一棵树，树的边长均为1，每个节点上标着一个字母
多次询问，每次给出一个v和一个d，要求查询v的子树 中深度为 d 的节点所标字母能否通过合理排列形成回文串

思路：

我们发现能组合成回文串的字母集包含奇数个字母最多只有一种
因此我们对字母集进行状压，1和0分别表示 该字母出现奇数次或者偶数次
$a[x][i]$ 表示 x 为子树，距离 x 深度为 i 的字母集
对树进行长链剖分，在同一条长链上有 $a[fx][i+1]=a[x][i]$长链继承
短链对应深度暴力 xor 即可询问需保存在点上，在对应的点统计答案

BZOJ4543 Hotel加强版

题意

求一棵树上三点距离 两两相等的三元组数

思路

设$f[i][j]$表示i子树距离 i 为 j 的点数量
设 $g[i][j]$ 表示 i 子树两点$lca$距离彼此为d，且 该$lca$距离i点为d-j的 点对数

• $g[x][j+1]+=f[x][j+1]\ast f[y][j]$
• $g[x][j-1]+=g[y][j]$
• $f[x][j+1]+=f[y][j]$
• $ans=f[x][j]\ast g[y][j+1]+g[x][j]\ast f[y][j-1]$
  我们发现状态转移只跟节点深度有关，因此可以长链剖 分优化
  同一条长链上对于 f 数组有 $f[fx][i+1]=f[x][i]$，对于g数组有 $g[fx][i-1]=g[x][i]$，
  继承重儿子的 g 和 f 函数， 暴力统计轻链，同时计算 ans 即可

例题代码

Dominant Indices

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#pragma warning (disable:4996)
typedef long long LL;
const int maxn = 1000005;
const int maxm = 1000005;
int n, res[maxn];

int head[maxn], tot;
struct Edge
{
	int v;
	int next;
}edge[maxm << 1];
void init() {
	memset(head, 0, sizeof(head));
	tot = 0;
}
inline void AddEdge(int u, int v) {
	edge[++tot].v = v;
	edge[tot].next = head[u];
	head[u] = tot;
}

int deep[maxn], h_size[maxn], son[maxn];
//deep记录深度,h_size记录重链长度,son记录重儿子
void dfs1(int now, int f) {
	deep[now] = deep[f] + 1;	
	h_size[now] = deep[now];
	for (int i = head[now]; i; i = edge[i].next) {
		if (f == edge[i].v)continue;
		dfs1(edge[i].v, now);
		h_size[now] = max(h_size[now], h_size[edge[i].v]);
		if (h_size[edge[i].v] > h_size[son[now]])
			son[now] = edge[i].v;		//长度最大的为重儿子
	}
}

int* sum[maxn], tmp[maxn], * id = tmp;
//sum为数组指针,数组总大小为maxn(所有长链加起来为n个点),id为指针
void dfs(int now, int f) {
	sum[now][0] = 1;
	if (son[now]) {
		sum[son[now]] = sum[now] + 1;	//继承其长链,sum[fx][i+1]=sum[x][i]
		dfs(son[now], now);
		res[now] = res[son[now]] + 1;	//同上，继承
	}
	for (int i = head[now]; i; i = edge[i].next) {
		if (edge[i].v == f || edge[i].v == son[now])continue;
		sum[edge[i].v] = id;		//数组开始点
		id += h_size[edge[i].v] - deep[edge[i].v] + 1;	//开数组长度为长链长度
		dfs(edge[i].v, now);
		for (int j = 1; j <= h_size[edge[i].v] - deep[edge[i].v] + 1; j++) {
			sum[now][j] += sum[edge[i].v][j - 1];	//对于轻链dp
			if (sum[now][j] > sum[now][res[now]] || sum[now][j] == sum[now][res[now]] && j < res[now])
				res[now] = j;
		}
	}
	if (sum[now][res[now]] == 1)res[now] = 0;	//特判，若为1个，那么0是最小的
}

int main() {
	int n; scanf("%d", &n);
	int u, v;
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		scanf("%d%d", &u, &v);
		AddEdge(u, v);
		AddEdge(v, u);
	}
	dfs1(1, 0);	//长链剖分
	sum[1] = id; id += h_size[1];
	dfs(1, 0);		//树上dp
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		printf("%d\n", res[i]);
}

Tree Requests

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#pragma warning (disable:4996)
typedef pair<int, int> pii;
typedef long long LL;
const int maxn = 500005;
const int maxm = 500005;
int n, m, x;
bool res[maxn];

int head[maxn], tot;
struct Edge
{
	int v;
	int next;
}edge[maxm << 1];
void init() {
	memset(head, 0, sizeof(head));
	tot = 0;
}
inline void AddEdge(int u, int v) {
	edge[++tot].v = v;
	edge[tot].next = head[u];
	head[u] = tot;
}

int deep[maxn], h_size[maxn], son[maxn];
//deep记录深度,h_size记录重链长度,son记录重儿子
void dfs1(int now, int f) {
	deep[now] = deep[f] + 1;	
	h_size[now] = deep[now];
	for (int i = head[now]; i; i = edge[i].next) {
		if (f == edge[i].v)continue;
		dfs1(edge[i].v, now);
		h_size[now] = max(h_size[now], h_size[edge[i].v]);
		if (h_size[edge[i].v] > h_size[son[now]])
			son[now] = edge[i].v;		//长度最大的为重儿子
	}
}

int w[maxn];
char s[maxn];
vector<pii> E[maxn];
int* sum[maxn], tmp[maxn], * id = tmp;
void dfs(int now, int f) {
	sum[now][0] = w[now];
	if (son[now]) {
		sum[son[now]] = sum[now] + 1;
		dfs(son[now], now);
	}
	for (int i = head[now]; i; i = edge[i].next) {
		if (edge[i].v == f || edge[i].v == son[now])continue;
		sum[edge[i].v] = id;
		id += h_size[edge[i].v] - deep[edge[i].v] + 1;
		dfs(edge[i].v, now);
		for (int j = 1; j <= h_size[edge[i].v] - deep[edge[i].v] + 1; j++)
			sum[now][j] ^= sum[edge[i].v][j - 1];
	}
	int depth = deep[now], son_depth;
	for (int i = 0; i < E[now].size(); i++) {
		son_depth = E[now][i].first - depth;
		if (son_depth <= 0 || E[now][i].first > h_size[now]) {
			res[E[now][i].second] = true;
			continue;
		}
		if (sum[now][son_depth] == 0) {
			res[E[now][i].second] = true;
			continue;
		}
		int cnt = 0, j;
		for (j = 0; j < 26; j++) {
			if (sum[now][son_depth] & (1 << j))
				cnt++;
			if (cnt == 2)break;
		}
		if (j < 26)res[E[now][i].second] = false;
		else res[E[now][i].second] = true;
	}
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &x);
		AddEdge(i, x);
		AddEdge(x, i);
	}
	scanf("%s", s + 1);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		w[i] = 1 << (s[i] - 'a');
	}
	int d;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		scanf("%d%d", &x, &d);
		E[x].push_back(pii(d, i));
	}
	dfs1(1, 0);
	sum[1] = id; id += h_size[1];
	dfs(1, 0);
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		if (res[i])printf("Yes\n");
		else printf("No\n");

}

Hotel加强版

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#pragma warning (disable:4996)
typedef pair<int, int> pii;
typedef long long LL;
const int maxn = 100005;
const int maxm = 100005;
int n;

int head[maxn], tot;
struct Edge
{
	int v;
	int next;
}edge[maxm << 1];
void init() {
	memset(head, 0, sizeof(head));
	tot = 0;
}
inline void AddEdge(int u, int v) {
	edge[++tot].v = v;
	edge[tot].next = head[u];
	head[u] = tot;
}

int deep[maxn], h_size[maxn], son[maxn];
//deep记录深度,h_size记录重链长度,son记录重儿子
void dfs1(int now, int f) {
	deep[now] = deep[f] + 1;
	h_size[now] = deep[now];
	for (int i = head[now]; i; i = edge[i].next) {
		if (f == edge[i].v)continue;
		dfs1(edge[i].v, now);
		h_size[now] = max(h_size[now], h_size[edge[i].v]);
		if (h_size[edge[i].v] > h_size[son[now]])
			son[now] = edge[i].v;		//长度最大的为重儿子
	}
}

LL* f[maxn], * g[maxn], tmp[maxn << 2], * id = tmp;
LL ans;
void dfs(int now, int fa) {
	if (son[now]) {
		f[son[now]] = f[now] + 1;
		g[son[now]] = g[now] - 1;
		dfs(son[now], now);
	}
	f[now][0] = 1;
	ans += g[now][0];
	for (int i = head[now]; i; i = edge[i].next) {
		if (edge[i].v == fa || edge[i].v == son[now])continue;
		f[edge[i].v] = id; id += ((h_size[edge[i].v] - deep[edge[i].v]) << 1) + 2;
		g[edge[i].v] = id; id += (h_size[edge[i].v] - deep[edge[i].v]) + 1;
		dfs(edge[i].v, now);
		for (int j = 0; j <= h_size[edge[i].v] - deep[edge[i].v]; j++) {
			if (j)ans += g[edge[i].v][j] * f[now][j - 1];	//长链上距离(j-1)的点数量
			ans += f[edge[i].v][j] * g[now][j + 1];			//短链上的点*长链上的点对
		}
		for (int j = 0; j <= h_size[edge[i].v] - deep[edge[i].v]; j++) {
			g[now][j + 1] += f[edge[i].v][j] * f[now][j + 1];	//短链一个点+长链一个点的合并
			if (j)g[now][j - 1] += g[edge[i].v][j];				//短链点对加入
			f[now][j + 1] += f[edge[i].v][j];
		}
	}	
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	int u, v;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		scanf("%d%d", &u, &v);
		AddEdge(u, v);
		AddEdge(v, u);
	}
	dfs1(1, 0);
	f[1] = id; id += (h_size[1] << 1) + 2;	//给g数组预留向前移动的空间
	g[1] = id; id += h_size[1] + 1;
	dfs(1, 0);
	printf("%lld\n", ans);
}