动态规划——最长不下降子序列（lis）

题目：http://www.sqyoj.club/problem.php?id=1044

分析：

以样例为例说明。

13 7 9 16 38 24 37 18 44 19 21 22 63 15

用a[1..14]记录关键字，

用b[i]记录以a[1]至a[i]的最长不下降子序列的长度，并初始化b[i]=1。

阶段、状态、决策（以顺推法说明）：

第1阶段：

a[1]=13  a[2]=7。初始状态为b[1]=1，目标状态是计算b[2]。

因为a[1..1]中比a[2]小的没有，所以b[2]=1。

第2阶段：

a[1]=13  a[2]=7，a[3]=9。初始状态为b[1]=1，b[2]=1，目标状态是计算b[3]。

因为a[1..2]中比a[3]小的是a[2]，所以b[3]=b[3]+b[2]，从而b[3]=2。

第3阶段：

a[1]=13  a[2]=7，a[3]=9，a[4]=16。初始状态为b[1]=1，b[2]=1，b[3]=2，目标状态是计算b[4]。

因为a[1..3]中比a[4]小且b[]最大的是a[3]，所以b[4]=b[4]+b[3]，从而b[4]=3。

从而总结出：

第k阶段：

以b[1..k]为初始状态，目标状态是b[k+1]。

状态转移方程是

b[k+1]=b[k+1]+max{b[j] | a[j] < a[k+1] ,  1<=j<=k }

满足最优子结构：计算出a[1]到a[k]的最长不降子序列后，肯定已经计算出了a[1]到a[i]的最长不降子序列（i=1,2,...,k-1）。

满足无后效性：当计算a[1]到a[k+1]的最长不降子序列长度，是以b[1..k]为初始状态，至于这些初始状态是怎样计算出来的，并不用关心，这就是未来与过去无关。

AC代码如下（逆推法）：

#include
#include
using namespace std;
int n,a[101][3];
int main(){
    int n=1;
    while(scanf("%d",&a[n][0])!=EOF){
        a[n][1]=1;
        a[n][2]=0;
        n++;
    }
    n--;
    for(int i=n-1;i>=1;i--){//阶段
        int k=i,maxln=0;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)//状态
            if(a[j][0]>a[i][0] && a[j][1]>maxln) {//决策
                maxln=a[j][1];
                k=j;
            }
        if(k!=i){
            a[i][1]+=a[k][1];
            a[i][2]=k;
        }
    }
    int maxk=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
       if(a[i][1]>a[maxk][1])maxk=i;
    cout<<"max="<