动态规划——01背包问题（一维数组、二维数组、初始化）

一、问题描述

有n 个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，
如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

二、动态规划原理

动态规划是将大问题分解成许多小问题，通过寻找大问题与小问
题之间的递推关系，解决一个一个小问题，最终达到解决原问题
的目的。通过填表将每个子问题的解记录下来，在新问题里需要
用到时可以直接提取，节约时间。

例题

四个物体，背包容量为8.

i	1	2	3	4
w(体积)	2	3	4	5
v(价值)	3	4	5	6

解题过程：
1、创建一个新的变量a，a的值可以为1或0；
2、建立关系模型，max(v1a+v2a+v3a+v4a)，a的值可以为1或0；
3、v1w1a+v2w2a+v3w3a+v4w4a<=背包容量，a的值可以为1或0；
4、本题有两个变量i(物品的个数)，j(背包的容量)；（i，j都是变化的）
5、那么定义V(i,j)为当前背包容量j，前i个物品最佳组合对应的价值
6、寻找递推关系，一件商品存在两种可能性：
第一，当前包的容量比该商品体积小，那么此时无法取到，即V(i,j)=V(i-1,j);
第二，当前包的容量比该商品大，但是取还是不取，当然是选择价值大的啦。
V(i,j)=max(V(i-1,j),V(i-1,j-w(i))+V(i));
7、创建二维列表依次遍历每一个物品就好了。

i/j	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	3	3	3	3	3	3	3
2	0	0	3	4	4	7	7	7	7
3	0	0	3	4	5	7	8	9	9
4	0	0	3	4	5	7	8	9	10

分析

(1) 如，i=1，j=1，w(1)=2，v(1)=3，有j (2) 又如i=1，j=2，w(1)=2，v(1)=3，有j=w(1),
故V(1,2)=max｛ V(1-1,2)，V(1-1,2-w(1))+v(1) ｝=max｛0，0+3｝=3；
(3) 如此下去，填到最后一个，i=4，j=8，w(4)=5，v(4)=6，有j>w(4)，
故V(4,8)=max｛ V(4-1,8)，V(4-1,8-w(4))+v(4) ｝=max｛9，4+6｝=10；

背包代码–该代码以自定义函数的形式写的

 void Find_Max()//动态规划
  {
      int i,j;//i为物品，j为容量
      for(i=1;i<=number;i++)
      {
          for(j=1;j<=capacity;j++)
          {
              if(j<w[i])//包装不进
             {
                 V[i][j]=V[i-1][j];
             }
             else//能装
             {
                 if(V[i-1][j]>V[i-1][j-w[i]]+v[i])//不装价值大
                 {
                     V[i][j]=V[i-1][j];
                 }
                 else//前i-1个物品的最优解与第i个物品的价值之和更大
                 {
                     V[i][j]=V[i-1][j-w[i]]+v[i];
                 }
             }
         }
     }
 }

重新理解01背包问题

这是对01背包问题的重新理解，之前理解的不是很到位，总感觉少点什么。
这是最基本的背包问题，特点：每种物品只有一件，可以选择放还是不放。
用子问题定义状态：即F[i,v]表示前i件物品放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。

F[i,v]=max (F[i-1,v],F[i-1,v-ci]+Wi)
这个方程非常重要，基本上所有背包问题相关的问题都是由它衍生出来的

这里有必要详细解释一下
将前i件物品放入容量为v的背包中，这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放还是不放），
那么可以转换为一个只和前i-1件物品相关的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转换为
“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为F[i-1,v]；如果放入第i件物品，那么问题就
转换为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-ci的背包中”，此时能获得最大价值就是F[i-1,v-ci]
在加上第i件的物品的获得的价值Wi。

优化空间复杂度

我们可知时间复杂度为O(VN)，这不可改变，那么空间复杂度呢，上面代码用的二维数组所以空间复杂度O(VN)，
那么我们是否可以优化空间复杂度，如果可以只能是一维数组了。
如何只用一个数组？看上面代码是从容量为0开始遍历，那反向遍历这样就可以用以为数组代替。

核心思想：
for i:=1 to N do
for j=V downto c[i] do
if f[j-c[i]]+w[i]>f[j] then
f[j]=f[j-c[i]]+w[i];

代码

void Find_max2()
{
	int i,j;//i为物品，j为容量
	for(i=1;i<=number;++i)//number为个数 
	{
		for(j=1;j<=capacity;++j)//capacity为背包体积 
		{
			if(v[j-c[i]]+w[i]>v[j]) 
			{
				v[j]=v[j-c[i]]+w[i];
			}
		}
	 } 
}

初始化细节

在最优解的问题中，事实上有两种不太相同的问法。

1.恰好装满背包时的最优解

初始化时将f[0]为0，其余f[1…N]设为负无穷，这样可以保证最终解是恰好装满背包的。

2.只求价值最大

初始化将f[0…N]都设为0

原因：初始化数组F数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。