动态规划——01背包问题（一维数组、二维数组、初始化）
一、问题描述
有n 个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，
如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？
二、动态规划原理
动态规划是将大问题分解成许多小问题，通过寻找大问题与小问
题之间的递推关系，解决一个一个小问题，最终达到解决原问题
的目的。通过填表将每个子问题的解记录下来，在新问题里需要
用到时可以直接提取，节约时间。
例题
四个物体，背包容量为8.
| i | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| w(体积) | 2 | 3 | 4 | 5 |
| v(价值) | 3 | 4 | 5 | 6 |
解题过程：
1、创建一个新的变量a，a的值可以为1或0；
2、建立关系模型，max(v1a+v2a+v3a+v4a)，a的值可以为1或0；
3、v1w1a+v2w2a+v3w3a+v4w4a<=背包容量，a的值可以为1或0；
4、本题有两个变量i(物品的个数)，j(背包的容量)；（i，j都是变化的）
5、那么定义V(i,j)为当前背包容量j，前i个物品最佳组合对应的价值
6、寻找递推关系，一件商品存在两种可能性：
第一，当前包的容量比该商品体积小，那么此时无法取到，即V(i,j)=V(i-1,j);
第二，当前包的容量比该商品大，但是取还是不取，当然是选择价值大的啦。
V(i,j)=max(V(i-1,j),V(i-1,j-w(i))+V(i));
7、创建二维列表依次遍历每一个物品就好了。
| i/j | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 2 | 0 | 0 | 3 | 4 | 4 | 7 | 7 | 7 | 7 |
| 3 | 0 | 0 | 3 | 4 | 5 | 7 | 8 | 9 | 9 |
| 4 | 0 | 0 | 3 | 4 | 5 | 7 | 8 | 9 | 10 |
分析
(1) 如，i=1，j=1，w(1)=2，v(1)=3，有j
故V(1,2)=max｛ V(1-1,2)，V(1-1,2-w(1))+v(1) ｝=max｛0，0+3｝=3；
(3) 如此下去，填到最后一个，i=4，j=8，w(4)=5，v(4)=6，有j>w(4)，
故V(4,8)=max｛ V(4-1,8)，V(4-1,8-w(4))+v(4) ｝=max｛9，4+6｝=10；
背包代码–该代码以自定义函数的形式写的
void Find_Max()//动态规划
{
int i,j;//i为物品，j为容量
for(i=1;i<=number;i++)
{
for(j=1;j<=capacity;j++)
{
if(j<w[i])//包装不进
{
V[i][j]=V[i-1][j];
}
else//能装
{
if(V[i-1][j]>V[i-1][j-w[i]]+v[i])//不装价值大
{
V[i][j]=V[i-1][j];
}
else//前i-1个物品的最优解与第i个物品的价值之和更大
{
V[i][j]=V[i-1][j-w[i]]+v[i];
}
}
}
}
}
重新理解01背包问题
这是对01背包问题的重新理解，之前理解的不是很到位，总感觉少点什么。
这是最基本的背包问题，特点：每种物品只有一件，可以选择放还是不放。
用子问题定义状态：即F[i,v]表示前i件物品放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。
F[i,v]=max (F[i-1,v],F[i-1,v-ci]+Wi)
这个方程非常重要，基本上所有背包问题相关的问题都是由它衍生出来的
这里有必要详细解释一下
将前i件物品放入容量为v的背包中，这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放还是不放），
那么可以转换为一个只和前i-1件物品相关的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转换为
“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为F[i-1,v]；如果放入第i件物品，那么问题就
转换为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-ci的背包中”，此时能获得最大价值就是F[i-1,v-ci]
在加上第i件的物品的获得的价值Wi。
优化空间复杂度
我们可知时间复杂度为O(VN)，这不可改变，那么空间复杂度呢，上面代码用的二维数组所以空间复杂度O(VN)，
那么我们是否可以优化空间复杂度，如果可以只能是一维数组了。
如何只用一个数组？看上面代码是从容量为0开始遍历，那反向遍历这样就可以用以为数组代替。
核心思想：
for i:=1 to N do
for j=V downto c[i] do
if f[j-c[i]]+w[i]>f[j] then
f[j]=f[j-c[i]]+w[i];
代码
void Find_max2()
{
int i,j;//i为物品，j为容量
for(i=1;i<=number;++i)//number为个数
{
for(j=1;j<=capacity;++j)//capacity为背包体积
{
if(v[j-c[i]]+w[i]>v[j])
{
v[j]=v[j-c[i]]+w[i];
}
}
}
}
初始化细节
在最优解的问题中，事实上有两种不太相同的问法。
1.恰好装满背包时的最优解
初始化时将f[0]为0，其余f[1…N]设为负无穷，这样可以保证最终解是恰好装满背包的。
2.只求价值最大
初始化将f[0…N]都设为0
原因：初始化数组F数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。