组合数学入门

真的是入门……

第一类斯特林数

\({n\brack m}\) 表示 \(n\) 个不同的数分成 \(m\) 个非空圆排列的方案数。

递推：\({n\brack m} = {n-1\brack m-1} + (n-1){n-1\brack m}\)。

从组合意义的角度考虑，第 \(n\) 个数可以单独新成为一个原排列，或者插入到前 \(n-1\) 个数的前面。

边界条件：\({n\brack 0} = [n=0]\)。

第二类斯特林数

\({n\brace m}\) 表示 \(n\) 个不同的小球放入 \(m\) 个相同的盒子中的方案数。

递推：\({n\brace m} = {n-1\brace m-1} + m{n-1\brace m}\)。

还是从组合意义的角度考虑，这里就不说了。

边界条件：\({n\brace 0} = [n=0]\)。

应用

下降幂：\(x^{\underline n} = \frac{x!}{(x-n)!}\)。

上升幂：\(x^{\overline n} = \frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}\)。

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\[m^n = \sum\limits_{i=0}^{\min(n,m)} \binom{m}{i}{n\brace i}i! \]

上面这个式子很重要，务必要记住。

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\[\sum\limits_{i=0}^n \binom{i}{j} = \binom{n+1}{j+1} \]

上式中，\(j\) 是一个已知的数。从组合意义的角度考虑，前 \(i\) 个物品中取 \(j\) 个物品就相当于从 \(n+1\) 个物品中选 \(j+1\) 个物品，这是一种快速求一行组合数的方法。

注意：组合数推式子的过程中尽量把所有的阶乘拆开，把能化简的尽量化简。也可以采用交换求和顺序的方法。

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自然数幂和：求 \(\sum\limits_{i=0}^n i^k\)，其中 \(k\) 较小，\(n\) 较大。

\[\begin{aligned} \sum\limits_{i=0}^n i^k &= \sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^k \binom{i}{j}{k\brace j}j! \\ &= \sum\limits_{j=0}^k {k\brace j} j! \sum\limits_{i=0}^n \binom{i}{j} \\ &= \sum\limits_{j=0}^k {k\brace j} j! \binom{n+1}{j+1} \\ &= \sum\limits_{j=0}^k {k\brace j} j! \frac{(n+1)!}{(j+1)!(n-j)!} \\ &= \sum\limits_{j=0}^k {k\brace j} \frac{(n+1)^{\underline{j+1}}}{j+1} \end{aligned}\]

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CF932E Team Work

求 \(\sum\limits_{i=1}^n \binom{n}{i}i^k\)，其中 \(k\) 较小，\(n\) 较大。

\[\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^n \binom{n}{i}i^k &= \sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}\sum\limits_{j=0}^k \binom{i}{j}{k\brace j}j! \\ &= \sum\limits_{j=0}^k {k\brace j} j! \sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}\binom{i}{j} \\ &= \sum\limits_{j=0}^k {k\brace j} j! \sum\limits_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!} \times \frac{i!}{j!(i-j)!} \\ &= \sum\limits_{j=0}^k {k\brace j} \sum\limits_{i=0}^n \frac{n!}{(n-i)!(i-j)!} \\ &= \sum\limits_{j=0}^k {k\brace j} \sum\limits_{i=0}^n \frac{n!(n-j)!}{(n-i)!(i-j)!(n-j)!} \\ &= \sum\limits_{j=0}^k {k\brace j} \frac{n!}{(n-j)!} \sum\limits_{i=0}^n \frac{(n-j)!}{(n-i)!(i-j)!} \\ &= \sum\limits_{j=0}^k {k\brace j} \frac{n!}{(n-j)!}\sum\limits_{i=0}^n \binom{n-j}{n-i} \\ &= \sum\limits_{j=0}^k {k\brace j} \frac{n!}{(n-j)!}2^{n-j} \end{aligned}\]

然后发现这个东西可以 \(\mathcal{O}(k^2)\) 计算，这道题就做完了。