第三神奇----harris角点之亚像素角点最小二乘法实现（感兴趣区域（roi）变化为角点）

已经明白两个向量点积为零的道理（x1*x2+y1*y2=0;即k1*k2=-1），亚像素角点即就是整数角点间的插值。

时间回到2016.07.25

今天使用聚集区harris整数角点做为向量P(i),求向量q（亚像素点）。

在角点聚集区域再一次harris角点迭代仍然是整数角点，意义应该不大。

两个向量点积为零是一个非常好听的名字，即让角点聚集区非负点积接近零的插值，不就是最小二乘法吗？

这个想法实在是太伟大了。

两个向量：

(p(i).x-q.x,p(i).y-q.y)和p(i)的梯度向量（x(i),y(i)）,

两个向量的点积为零：x(i)*(p(i).x-q.x)+y(i)*(p(i).y-q.y)=0

点积为零集最小即所有|x(i)*(p(i).x-q.x)+y(i)*(p(i).y-q.y)|和最小------>0

Q(q.x,q.y)=[x(i)*(p(i).x-q.x)+y(i)*(p(i).y-q.y)]^2/最小二乘法

令Q'q.x=0=q.x*xi*yi+q.y*yi^2-(xi*yi*pi.x+yi^2*pi.y)

令Q'q.y=0=q.x*xi^2+q.y*yi*xi-(xi^2*pi.y+xi*yi*pi.y)

得解(q.x,q.y)。

另外一种矩阵求解也验证此结果，显然可靠，即

p(i)的梯度向量（x(i),y(i)）；使其组成n*2的列向量A，

             =| x1 x2 x3 x4 x5...|

                    | y1 y2 y3 y4 y5... |     

            *A=|    xi^2          xi*yi|

                       |     yi*xi        yi^2|        

令误差ε(i)=梯度向量(x(i),y(i))* (q-p(i))       

化简得：   梯度向量(x(i),y(i))*q= 误差ε(i)+  梯度向量(x(i),y(i))*  p(i)

   A=梯度向量(x(i),y(i))，X=，b= 梯度向量(x(i),y(i))*  p(i)

它实质是矩阵 AX-b（即误差ε(i)=0）最小化问题，矩阵求解得X== (A的转置*A)的逆*A的转置*b

(即=**b)。

  经推导与上面最小二乘法结果一致。

人有时并不知道自己走的路是否正确，但是两条腿走路是可靠的。

       整数harris角点分组后，在每组中求亚像素角点，以下是亚像素角点算法C#实现：

 private PointF tysubcorners1per8(int left, int top, int w, int h, int picW, byte[] img)//仅仅梯度幅度不行,M和theta可以计算出梯度向量
        {
            double D, A, B, E, F, G, H; A = B = D = E = F = G = H = 0;
            double _D, _A, _B; _A = _B = _D = 0;
            for (int i = 0; i < h; i++)
                for (int j = 0; j < w; j++)
                {
                    int xdaoshu = img[(top + i) * picW + left + j + 1] - img[(top + i) * picW + left + j];//无需考虑边界
                    int ydaoshu = img[(i + top) * picW + j + left + picW] - img[(top + i) * picW + left + j];
                    double TiDuvalue = Math.Sqrt(xdaoshu * xdaoshu + ydaoshu * ydaoshu);
                    float MVX = (float)(TiDuvalue * Math.Cos(jiaoduAndxiangxian(xdaoshu, ydaoshu)));//梯度向量X
                    float MVY = (float)(TiDuvalue * Math.Sin(jiaoduAndxiangxian(xdaoshu, ydaoshu)));//梯度向量Y
                    _A += (MVX) * (MVX);
                    _B += (MVX) * (MVY);
                    _D += (MVY) * (MVY);
                    E += (MVX) * (MVX) * (left + j);//x
                    F += (MVX) * (MVY) * (top + i);//y
                    G += (MVX) * (MVY) * (left + j);//x
                    H += (MVY) * (MVY) * (top + i);//y
                }
            double result = _A * _D - _B * _B;
            A = _D / (result * 1.0); B = -_B / (result * 1.0); D = _A / (result * 1.0);
            double x = A * (E + F) + B * (G + H);
            double y = B * (E + F) + D * (G + H);
            return new PointF((float)(x), (float)(y));
        }

                           20190306整理           刘刚（有光）  ganggangwa   ganggangwawa