树形DP一般解题思路

树形DP

定义

• 整个题目给出，是一棵树。
• 一般而言：以节点从深到浅（子树从小到大）的顺序作为dp的阶段；dp状态表示中，第一维通常是节点的编号（代表以该节点为根的子树。）大多数时候，采用递归的方式实现树形dp。
  • dp[i]/[j] (i通常是节点的编号)，j代表状态(例如是否选择了第i个节点)
  • 这个状态j一般有两个状态，0没选，1选了

模板

没有上司的舞会

• 一家公司有n个员工，编号为1~n。
• 他们的关系就像一棵以校长为根的数，父节点就是子节点的直接上司。
• 每个员工都有一个快乐指数。
• 现在要开一个周年庆典，没有员工愿意和直接上司参加舞会，问怎样安排能让快乐值最大，求最大值。
• 数据范围：N≤6000

想法

• DFS+DP**，dp[x,1]表示x去，dp[x,0]表示x不去
  • dp[x,1]:=sum(dp[所有子节点,0])+快乐值[x]; //x去了，下属不能去，所以dp[所有子节点,0]
  • dp[x,0]:=sum(max(dp[所有子节点,0],dp[所有子节点,1])); //x不去，下属可去可不去，所以max(dp[所有子节点,0],dp[所有子节点,1])
• 注意先求下属，再求上司。
• 利用链式前向星保存树

//P1352 没有上司的舞会
//https://www.luogu.com.cn/problem/P1352

#include 
using namespace std;
const int maxn = 6e3+10;
int n,r[maxn],head[maxn];

int cnt;//边的编号
int d[maxn];//统计编号节点父节点的个数
int dp[maxn][2];
//链式前向星
struct edge{
    int to,w,next;
    //to终点，w代表权重，next代表兄弟边
}edges[maxn];

//这道题没有权重,u起点，v终点
void addEgde(int u,int v){
    edges[++cnt].next = head[u];
    edges[cnt].to = v;
    head[u] = cnt;
}

void dfs(int root){
    dp[root][1] = r[root];//加上root节点的快乐值
    dp[root][0] = 0;
    //前向星遍历
    for (int i = head[root]; i!=0 ; i=edges[i].next) {
        int j = edges[i].to;//子节点
        dfs(j);
        //如果root不来，那么它的孩子可以或者不来
        dp[root][0] += max(dp[j][1],dp[j][0]);
        //如果来了，那么它的孩子一定不来
        dp[root][1] += dp[j][0];
    }
}
int main(){
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> r[i];
    }

    for (int i = 1; i <= n-1; ++i) {
        int x,y;
        cin >> x >> y;
        d[x]++;
        //前向星加边
            addEgde(y,x);
    }

    //找到根节点
    int root = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        //没有父节点
        if(d[i] == 0){
            root = i;
            break;
        }
    }
    dfs(root);
    cout << max(dp[root][1],dp[root][0]);
}