三种经典的博弈问题

(一)巴什博弈(Bash Game):

        只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个。最后取光者得胜。
很容易想到当n%(m+1)<>0时,先取必胜,第一次先拿走n%(m+1),以后每个回合到保持两人拿走的物品总和为m+1即可。
        这个游戏还可以有一种变相的玩法:两个人轮流报数,每次至少报一个,最多报十个,谁能报到100者胜。

(二)威佐夫博弈(Wythoff Game):

       有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。
       如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是:(0,0)(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10).可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk=ak+k.
       那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢?我们有如下公式:
                       ak =[k(1+√5)/2],bk= ak + k  (k=0,1,2,...,n 方括号表示取整函数)
      奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2 = 1。618...,因此,由ak,bk组成的矩形近似为黄金矩形,由于2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],若a=[j(1+√5)/2],那么a = aj,bj = aj + j,若不等于,那么a = aj+1,bj+1 = aj+1+ j + 1,若都不是,那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行,一定会遇到奇异局势。
POJ1067 取石子游戏

(三)尼姆博弈(Nimm Game):

       有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。
POJ2234 Matches Game
对于任何奇异局势(a,b,c),都有a^b^c=0.非奇异局势(a,b,c)(a

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