数学建模————模拟退火算法

模拟退火算法

什么是退火？

退火是指将固体加热到足够高的温度，使分子呈随机排列状态，然后逐步降温使之冷却，最后分子以低能状态排列，固体达到某种稳定状态。

物理退火过程

加温过程一一增强粒子的热运动，消除系统原先可能存在的非均匀态;
等温过程——对于与环境换热而温度不变的封闭系统，系统状态的自发变化总是朝自由能减少的方向进行，当自由能达到最小时，系统达到平衡态;
冷却过程——使粒子热运动减弱并渐趋有序,系统能量逐渐下降，从而得到低能的晶体结构。

模拟退火

模拟大自然中的退火降温现象，可以用于求解生活中的组合优化问题。问题对应关系如下：

组合优化问题	金属物体
解	粒子状态
最优解	能量最低状态
设定初温	溶解过程
Metropolis抽样过程	等温过程
控制参数的下降	冷却
目标函数	能量

实例：模拟退火算法对TSP问题的求解

TSP问题 旅行商问题

TSP问题(Travelling Salesman Problem)又译为旅行推销员问题、货郎担问题，是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。

简单的讲就是从一个结点出发，将其他结点全部都遍历一次，并且所走的路径最短。

这里给定一组数据，为10个城市的经纬度

城市	X坐标	Y坐标
1	0.6683	0.2536
2	0.6195	0.2634
3	0.4000	0.4439
4	0.2439	0.1463
5	0.1707	0.2293
6	0.2293	0.7610
7	0.5171	0.9414
8	0.8732	0.6536
9	0.6878	0.5219
10	0.8488	0.3609

算法程序代码

% 程 序 参 数 设 定
Coord = ... % 城 市 的 坐 标 Coordinates
[ 0.6683 0.6195 0.4    0.2439 0.1707 0.2293 0.5171 0.8732 0.6878 0.8488 ; ...
  0.2536 0.2634 0.4439 0.1463 0.2293 0.761  0.9414 0.6536 0.5219 0.3609 ] ;
t0 = 1 ; % 初 温 t0
iLk = 20 ; % 内 循 环 最 大 迭 代 次 数 iLk
oLk = 50 ; % 外 循 环 最 大 迭 代 次 数 oLk
lam = 0.95 ; % λ lambda
istd = 0.001 ; % 若 内 循 环 函 数 值 方 差 小 于 istd 则 停 止
ostd = 0.001 ; % 若 外 循 环 函 数 值 方 差 小 于 ostd 则 停 止
ilen = 5 ; % 内 循 环 保 存 的 目 标 函 数 值 个 数
olen = 5 ; % 外 循 环 保 存 的 目 标 函 数 值 个 数
% 程 序 主 体
m = length( Coord ) ; % 城 市 的 个 数 m
fare = distance( Coord ) ; % 路 径 费 用 fare
path = 1 : m ; % 初 始 路 径 path
pathfar = pathfare( fare , path ) ; % 路 径 费 用 path fare
ores = zeros( 1 , olen ) ; % 外 循 环 保 存 的 目 标 函 数 值
e0 = pathfar ; % 能 量 初 值 e0
t = t0 ; % 温 度 t
for out = 1 : oLk % 外 循 环 模 拟 退 火 过 程
ires = zeros( 1 , ilen ) ; % 内 循 环 保 存 的 目 标 函 数 值
for in = 1 : iLk % 内 循 环 模 拟 热 平 衡 过 程
[ newpath , v ] = swap( path , 1 ) ; % 产 生 新 状 态
e1 = pathfare( fare , newpath ) ; % 新 状 态 能 量
% Metropolis 抽 样 稳 定 准 则
r = min( 1 , exp( - ( e1 - e0 ) / t ) ) ;
if rand < r
path = newpath ; % 更 新 最 佳 状 态
e0 = e1 ;
end
ires = [ ires( 2 : end ) e0 ] ; % 保 存 新 状 态 能 量
% 内 循 环 终 止 准 则 ：连 续 ilen 个 状 态 能 量 波 动 小 于 istd
if std( ires , 1 ) < istd
break ;
end
end
ores = [ ores( 2 : end ) e0 ] ; % 保 存 新 状 态 能 量
% 外 循 环 终 止 准 则 ：连 续 olen 个 状 态 能 量 波 动 小 于 ostd
if std( ores , 1 ) < ostd
break ;
end
t = lam * t ;
end
pathfar = e0 ;
% 输 入 结 果
fprintf( '近似最优路径为：\n ' )
%disp( char( [ path , path(1) ] + 64 ) ) ;
disp(path)
fprintf( '近似最优路径路程\tpathfare=' ) ;
disp( pathfar ) ;
myplot( path , Coord , pathfar ) ;

运行结果：

代码下载：

https://download.csdn.net/download/Ace_bb/12442502