算法：子集和问题的分支限界算法

子集和问题

#问题描述
已知数组A[0…N-1]，给定某数值sum，找出数组中的若干个数，使得这些数的和为sum

分支限界算法

分支限界法常以广度优先或以最小耗费(最大效益)优先的方式搜索问题的解空间树。在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。

1核心

1、 分支限界法以广度优先的方式搜索解空间
2、在搜索时，绝大部分需要用到剪枝。“剪枝”是搜索算法中优化程序的一种基本方法，需要通过设计出合理的判断方法，以决定某一分支的取舍。若把搜索的过程看成是对一棵树的遍历，那么剪枝就是将树中的一些死结点（不能得到满足条件的解）的分支“剪掉”，以减少搜索的时间。

2 分支限界算法解决子集和问题

利用分支限界算法解决子集和问题，对算法中各个变量赋予新的含义，以及设定算法中的各个参数，具体如下：

① 考察向量x[0…N-1]，假定已经确定了前i个值，现在要判断第i+1个值x[i]为false还是true，x[i]为false表示不选中，x[i]为true表示选中；
② 假定由x[0…i-1]确定的A[0…i-1]的和为has
③ A[i,i+1,…N-1]的和记为residue（简记为r）
④ sum为所要满足的和
⑤ positive为正数剩余的和
⑥ negative为负数剩余的和

算法公式：

 has+a[i]<=sum且has+r>=sum，x[i]才可能为true

 has+(r-a[i])>=sum，x[i]才可能为false

考虑负数的情况

1）可以对整个数组A[0…N-1]正负排序，使得负数都在前面，正数都在后面，使用剩余正数的和作为分支限界的约束
2）如果A[i]为负数：如果全部正数都算上还不够，就不能选A[i]
3）如果递归进入了正数范围，按照数组是全正数的情况正常处理即可

算法代码：

//x[]为最终解，i为考察第x[i]是否加入，has表示当前的和，positive表示剩余正数之和
//negative表示剩余负数之和
void EnumNumber(bool* x, int i, int has, int negative, int positive) {
    if(i >= size)
        return;
    if(has + a[i] == sum) {
        x[i] = true;
        Print(x);
        x[i] = false;
    }
    if(a[i] >= 0) {
        if((has + positive >= sum) && (has + a[i] <= sum)) { //有可能选x[i]
            x[i] = true;
            EnumNumber(x, i + 1, has + a[i], negative, positive - a[i]);
            x[i] = false;
        }
        if(has + positive - a[i] >= sum) { //有可能不选x[i]
            x[i] = false;
            EnumNumber(x, i + 1, has, negative, positive - a[i]);
        }
    }
    else {
        if(has + x[i] + positive >= sum) { //有可能选x[i]
            x[i] = true;
            EnumNumber(x, i + 1, has + a[i], negative - a[i], positive);
            x[i] = false;
        }
        if((has + negative <= sum) && (has + positive >= sum)) {  //当前和与其他项相加可以等于Sum，才可能不选x[i]
            x[i] = false;
            EnumNumber(x, i + 1, has, negative - a[i], positive);
        }
    }
}

完整程序：

package 子集和;

public class set {
	
	static int a[] =new int[100];
	static int size =100;
	static int sum = 30;     //sum为计算的和
  public static void Print(boolean x[]) {
     for(int i=0;i<size;i++) {
    	 if(x[i]==true)
    		 System.out.print(a[i]+" ");
     }
     System.out.println();
   }
  
  public static void output() {
	  
	  for(int i=0;i<100;i++) {
		  a[i] = (int)(Math.random()*100)+1; 
	  }
	  for(int i=0;i<100;i++) {
		  System.out.print(a[i]+" ");
	  }
	 System.out.println();
  }
  
//x[]为最终解，i为考察第x[i]是否加入，has表示当前的和，positive表示剩余正数之和
//negative表示剩余负数之和
  public static void EnumNumber(boolean x[], int i, int has, int negative, int positive) {
	  
	    if(i >= size)
	        return;
	    if(has + a[i] == sum) {
	        x[i] = true;
	        Print(x);
	          
	        x[i] = false;
	        return;
	    }
	    if(a[i] >= 0) {
	        if((has + positive >= sum) && (has + a[i] <= sum)) { //有可能选x[i]
	            x[i] = true;
	            EnumNumber(x, i + 1, has + a[i], negative, positive - a[i]);
	            x[i] = false;
	        }
	        if(has + positive - a[i] >= sum) { //有可能不选x[i]
	            x[i] = false;
	            EnumNumber(x, i + 1, has, negative, positive - a[i]);
	        }
	    }
	    else {
	        if(has + a[i] + positive >= sum) { //有可能选x[i]
	            x[i] = true;
	            EnumNumber(x, i + 1, has + a[i], negative - a[i], positive);
	            x[i] = false;
	        }
	        if((has + negative <= sum) && (has + positive >= sum)) {  //当前和与其他项相加可以等于Sum，才可能不选x[i]
	            x[i] = false;
	            EnumNumber(x, i + 1, has, negative - a[i], positive);
	        }
	    }
	}
  //zhengfu paixu
  public static void main (String []args) {
	  
	  output();
	  boolean[] x = new boolean[size];
	    
	    int negative = 0, positive = 0;

	    //计算negative，positive初始值，即所有负数和正数之和
	    for(int i = 0; i < size; ++i) {
	        if(a[i] < 0)
	            negative += a[i];
	        else
	            positive += a[i];
	    }
	    long start=System.currentTimeMillis();
	    EnumNumber(x, 0, 0, negative, positive);
	    long end=System.currentTimeMillis();
	    System.out.println("\n所需时间："+(end-start)+"秒");
  }
}