二次规划算法学习笔记

        在人脸表情动画的研究中，大部分工作都是通过采集每一时刻的面部运动数据，并求出该数据在表情基中的线性组合。而这个计算问题是一个典型的二次规划问题，如下面的式子所示。

      

        通过上述问题求出的结果（即每个表情基对应的权重）作用与各个表情基上就能实现逼真的表情动画了，而求解二次规划的方法有很多，下面重点介绍有效集方法的理论并进行相应的代码实现。 

         一般的二次规划的形式如下：

   

  下面是matlab实现的有效集解法：

function [x,lamk,exitflag,output]=qpact(H,c,Ae,be,Ai,bi,x0)
% 功能: 用有效集方法解一般约束二次规划问题:  
%   min f(x)=0.5*x'*H*x+c'*x,
%    s.t.  a'_i*x-b_i=0,(i=1,...,l),
%           a'_i*x-b_i>=0,(i=l+1,...,m)
%输入:  x0是初始点, H, c分别是目标函数二次型矩阵和向量；
%   Ae=(a_1,...,a_l)',  be=(b_1,...,b_l)'; 
%   Ai=(a_{l+1},...,a_m), bi=(b_{l+1},...,b_m)'.
%输出:  x是最优解， lambda是对应的乘子向量；output是结构
% 变量, 输出极小值f(x), 迭代次数k等信息, exitflag是算法终止类型
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 初始化
%epsilon 是一个很小的数，用于辅助不等式判断，
%如在进行 >= 的判断时，往往是 x>=b+epsilon，err也是一个类似的量
epsilon=1.0e-9; err=1.0e-6;
k=0; x=x0;  %k为迭代次数，x0为初始点
n=length(x);  kmax=1.0e3;   %kmax最大迭代次数
ne=length(be); ni=length(bi); lamk=zeros(ne+ni,1);
index=ones(ni,1);
for (i=1:ni)
    if(Ai(i,:)*x>bi(i)+epsilon), index(i)=0; end
end
%算法主程序
while (k<=kmax)
    %求解子问题
    Aee=[ ];
    if(ne>0),  Aee=Ae; end
    for(j=1:ni)        %不等式约束的个数
        if(index(j)>0), Aee=[Aee; Ai(j,:)]; end    %将不等式约束和等式约束的稀疏矩阵合并
    end
%   min f(x)=0.5*x'*H*x+c'*x,
%    s.t.  a'_i*x-b_i=0,(i=1,...,l，l+1,...,m),
%    将不等式约束改为等式约束求解子问题。      
    gk=H*x+c;
    [m1,n1] = size(Aee);
    [dk,lamk]=qsubp(H,gk,Aee,zeros(m1,1));       %计算出极小点dk和拉格朗日乘子向量lamk   
    if(norm(dk)<=err)                            %dk为0的时候转入第二步
        y=0.0;
        if(length(lamk)>ne)                      
            [y,jk]=min(lamk(ne+1:length(lamk))); %确定有效集中lamda的最小元素。 
        end
        if(y>=0)
            exitflag=0;                          %如果每个lamda都大于零，这dk为全局极小点，
        else                                     %否则减去lamda对应的有效集元素，形成新的有效集
            exitflag=1;
            for(i=1:ni)
                if(index(i) & (ne+sum(index(1:i)))==jk)   %如果lamda对应的有效集位置为jk，且索引为1，则将索引置0
                    index(i)=0; break;                    %确保在之后的计算中，不在计算当前不等式约束。
                end
            end
        end
        k=k+1;
    else                                         %如果dk不等于0，转入第三步
        exitflag=1;                              %确定步长alpha
        %求步长
        alpha=1.0; tm=1.0;
        for(i=1:ni)
            if((index(i)==0)&(Ai(i,:)*dk<0))
                tm1=(bi(i)-Ai(i,:)*x)/(Ai(i,:)*dk);  %alpha的计算见第三步的具体公式
                if(tm1

%%%%%%%% 求解子问题 %%%%%%%%%%%%%%%                 求法见附A
function [x,lambda]=qsubp(H,c,Ae,be)               %求解子问题即，求解一个等式约束的二次规划，
ginvH=pinv(H);
[m,n]=size(Ae);
if (m>0)
    rb = Ae*ginvH*c + be;
    lambda = pinv(Ae*ginvH*Ae')*rb;
    x = ginvH*(Ae'*lambda-c);
else
    x = -ginvH*c;
    lambda = zeros(m,1);
end