NOIP 提高组 初赛 三、问题求解 习题集（三）NOIP2006-NOIP2009
1.第十二届(NOIP2006)
问题：
1．将 2006 个人分成若干不相交的子集，每个子集至少有 3 个人，并且：
（1）在每个子集中，没有人认识该子集的所有人。
（2）同一子集的任何 3 个人中，至少有 2 个人互不认识。
（3）对同一子集中任何 2 个不相识的人，在该子集中恰好只有 1 个人认识这两个人。 则满足上述条件的子集最多能有 个？
2．将边长为 n 的正三角形每边 n 等分，过每个分点分别做另外两边的平行线，得到若干个正三角形， 我们称为小三角形。正三角形的一条通路是一条连续的折线，起点是最上面的一个小三角形，终点是最 下面一行位于中间的小三角形。在通路中，只允许由一个小三角形走到另一个与其有公共边的且位于同 一行或下一行的小三角形，并且每个小三角形不能经过两次或两次以上（图中是 n=5 时一条通路的例 子）。设 n=10，则该正三角形的不同的通路的总数为_ __。
1.思考过程中发现矛盾，若子集只有3人，A认识B，A认识C，B、C互不认识，那A算不算认识该集合中的所有人。
（1）在每个子集中，没有人认识该子集的所有人。该条件有问题。
经思考发现每个子集至少3个人，不代表至少3个人，要满足三个条件，子集肯定超过3人。
思考过程如上图，1-6都想到了，没有耐心再想下去了，找到http://www.zybang.com/question/7d364e02b9acabe93190e3f1ceb44a2d.html发现基本思路正确，每个子集最少需要5个元素，如上图7所示，离成功之差一步，不过还是很高兴自己能想到1-6.一直在想6个元素怎么构成符合题意的子集。http://tieba.baidu.com/p/143515702提到：
2.第十三届(NOIP2007)
问题：
1．给定n个有标号的球，标号依次为1，2，…，n。将这n个球放入r个相同的盒子里，不允许有空盒，其不同放置方法的总数记为S(n,r)。例如，S(4,2)=7，这7种不同的放置方法依次为{(1) , (234)} , {(2) , (134)} , {(3) , (124)} , {(4) , (123)} ,{(12) , (34)} , {(13) , (24)} , {(14) , (23)}。当n=7，r=4时，S(7,4)= 。
2．N个人在操场里围成一圈，将这N个人按顺时针方向从1到N编号，然后从第一个人起，每隔一个人让下一个人离开操场，显然，第一轮过后，具有偶数编号的人都离开了操场。依次做下去，直到操场只剩下一个人，记这个人的编号为J(N)，例如，J(5)=3，J(10)=5，等等。
则J(400)= 。
（提示：对N=2m+r进行分析，其中0≤r<2m）。
问题解答：
1.
4个盒子，放入球个数如下：
1 1 1 4
1 1 2 3
1 1 3 2(重复)
1 1 4 1(重复)
1 2 1 3(重复)
1 2 2 2
1 2 3 1(重复)
1 3 1 2(重复)
1 3 2 1(重复)
1 4 1 1(重复)
有效个数只有上述三种：1 1 1 4;1 1 2 3;1 2 2 2.
用枚举法得出1 1 1 4有35种
后参考http://www.zybang.com/question/67df89c725b679eedcfa84345b27d353.html
发现1 1 1 4办法C(7,4)=35种。受到启发：1 1 1 4办法C(7,1)*C(6,1)*C(5,1)/P(3,3)=35种
1 1 2 3办法C(7,2)*C(5,3)=210种。或1 1 2 3办法C(7,1)*C(6,1)/P(2,2)*C(5,2)=210中。
1 2 2 2办法C(7,2)*C(5,2)*C(3,2)/P(3,3)=105种。
答案：35+210+105=350
2.
方法一：
已开始准备J(1),J(2),J(3),J(4),......找规律，找着找着，果断放弃。
方法二：
直接处理J(400)，第一轮结束：剩奇数200个：1 3 5 7 ......399
第二轮结束剩100个数据:1 5(1+4) 9(5+4) 13(9+4) ...397(393+4)
第三轮结束剩50个数据:1 9(1+8) 17(9+8)......393
第四轮结束剩25个数据:1 17(1+16) 33(17+16)......385
因该轮剩奇数个数据,故，开始手动处理：
1 17 33 49 65 81 97 113 129 145161 177 193 209 225 241 257 273 289 305 321 337 353 369 385
第五轮结束剩：
385 1 33 65 97 129 161 193 225 257 289 321 353
第六轮结束剩：
353 385 33 97 161 225 289
第七轮结束剩：
289 353 33 161
289 353 33 161
第九轮结束剩：28933
第十轮结束剩：289
答案：289
本题虽然方法二也不慢，但实际操作过程中，还是容易出错。
有无通法：https://zhidao.baidu.com/question/582894513179510725.html
289人
把N写成2的K次方加X的形式
则J[N]=2X+1
400=2的8次方加144
所以是第2*144+1=289个人
3.第十四届(NOIP2008)
问题：
1．有6个城市，任何两个城市之间有一条道路连接，6个城市之间两两之间的距离如下表表示，则城市1到城市6的最短距离为____________。
|
|
城市1 |
城市2 |
城市3 |
城市4 |
城市5 |
城市6 |
| 城市1 |
0 |
2 |
3 |
1 |
12 |
15 |
| 城市2 |
2 |
0 |
2 |
5 |
3 |
12 |
| 城市3 |
3 |
2 |
0 |
3 |
6 |
5 |
| 城市4 |
1 |
5 |
3 |
0 |
7 |
9 |
| 城市5 |
12 |
3 |
6 |
7 |
0 |
2 |
| 城市6 |
15 |
12 |
5 |
9 |
2 |
0 |
2．书架上有21本书，编号从1到21 从中选4本，其中每两本的编号都不相邻的选法一共有___________________种。
问题解答：
1.
迪杰斯特拉算法：
0 2 3 1 12 15 (1)
0 2 3 1 8 10 (2)
0 2 3 1 5 10 (3)
0 2 3 1 5 8 (5)
0 2 3 1 5 7 (7)
答案：7
2.
想破头，结果一看http://www.zybang.com/question/98ecde8191580f87432df06e7153dcb4.html还挺简单，不过层层剥离，想到这个层面，确实挺难。
假如书架上现已放好了17本书，现要将4本书插入进去且使之任意两本不相邻，即在18个空中插入4本书，列式为：C（18，4）=3060
4.第十五届(NOIP2009)
问题：
1．拓扑排序是指将有向无环图G中的所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若
2．某个国家的钱币面值有1, 7, 72,73共计四种，如果要用现金付清10015元的货物，假设买卖双方各种钱币的数量无限且允许找零，那么交易过程中至少需要流通 张钱币。
问题解答：
1.题目没看懂，什么是拓扑排序，按着理解做一遍，是一个很小的答案，明显理解有问题。
查了http://www.cnblogs.com/dolphin0520/archive/2011/04/16/2017737.html发现理解没有问题。
通过http://blog.sina.com.cn/s/blog_477c8fd70100h3w7.html对该题有了更深的了解，同时也加深了对拓扑排序的理解。
12376，插入4可以在7前或7后2个位置；123476，123746在1后空位插入5，有6个位置；将89整体插入1237465有8个位置，或者在8个位置中，挑出2个位置插入8，9。故个数为：
2*6*(8+C(8,2))=2*6*(8+28)=432个。
2.进制装换及允许找零
10015=4*7^4+1*7^3+1*7^2+2*7^1+5*7^0
4*7^4=28*7^3
5*7^0=1*7^1-2*7^0
共纸币张数：28+1+1+2+1+2=35张
1.拓扑排序，排列组合 2.进制转换
2016-12-7 20:06