连续时间傅里叶变换

1. 非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换

为了对傅里叶变换的实质进行更深入的了解，我们先从一个连续时间周期方波的傅里叶级数表示着手。即，在一个周期内

$$x(t)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{|}t|<T_1\\ 0,& {\text{T}}_1<|t|<T/2\end{array}$$

以周期 $T$ 周期重复，如下图所示。

该方波信号的傅里叶级数系数 $a_k$ 是

$$a_k=\frac{2sin(k{\omega }_0{T}_1)}{k{\omega }_{0}T}\text{\hspace{1em}(1)}$$
式中 ${\omega }_0=2\pi /T$。

理解（1） 式的另一种方式是把它当作一个包络函数的样本，即

$$T{a}_k=\frac{2sin\omega T_1}{\omega }{|}_{\omega =k{\omega }_0}\text{\hspace{1em}(2)}$$

这就是，若将 $\omega$ 看作一个连续变量，则函数 $ {(2sin\omega T_1)}/{\omega}$ 就代表 $T{a}_k$ 的包络，这些系数就是在此包络上等间隔取得的样本。而且，若 $T_1$ 固定，则 $T{a}_k$ 的包络就与 $T$ 无关，如下图所示。

从该图可以看出，随着 $T$ 增加，该包络就被以愈来愈密集的间隔采样。随着 $T$ 变得任意大，原来的周期方波就趋近于一个矩形脉冲（也就是说，在时域保留下的是一个非周期信号，它对应于原方波的一个周期）。

与此同时，傅里叶级数（乘以 $T$ 后）作为包络上的样本也变得愈来愈密集，这从某种意义上来说，随着 $T\to \infty$，傅里叶级数就趋近于这个包络函数。

这个例子说明了对非周期信号建立傅里叶表示的基本思想，可以把非周期信号当作一个周期任意大的极限来看待。

现在我们来考虑一个信号 $x(t)$，它具有有限持续期 $2T_1$，从这个周期信号出发，可以构成一个周期信号 $\tilde{x}(t)$，使 $x(t)$ 就是 $\tilde{x}(t)$ 的一个周期。当把 $T$ 选的比较大时，$x(t)$ 就在一个更长的时段上与 $\tilde{x}(t)$ 相一致，并且随着 $T\to \infty$，对任意有限时间值 $t$ 而言，$\tilde{x}(t)$ 就等于 $x(t)$。

在这种情况下，我们考虑将 $\tilde{x}(t)$ 表示成傅里叶级数，将积分区间选为 $-T/2⩽t⩽T/2$。

$$\tilde{x}(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}\text{\hspace{1em}(3)}$$

$$a_k=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\tilde{x}(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt\text{\hspace{1em}(4)}$$

式中 ${\omega }_0=2\pi /T$，由于在 $|t|<T/2$ 内，$\tilde{x}(t)=x(t)$，而在其余地方，$x(t)=0$，所以（4）式可以重新写为

$$a_k=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt=\frac{1}{T}{\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt\text{\hspace{1em}(5)}$$

因此，定义 $T{a}_k$ 的包络 $X(j\omega )$ 为

$$X(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt\text{\hspace{1em}(6)}$$

这时候，系数 $a_k$ 可以写为

$$a_k=\frac{1}{T}X(jk{\omega }_0)\text{\hspace{1em}(7)}$$

将（3） 和 （7）结合在一起，$\tilde{x}(t)$ 就可以用表示为

$$\tilde{x}(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\frac{1}{T}X(jk{\omega }_0)e^{jk{\omega }_{0}t}=\frac{1}{2\pi }\sum _{k=-\infty }^{+\infty }X(jk{\omega }_0)e^{jk{\omega }_{0}t}{\omega }_0\text{\hspace{1em}(8)}$$

随着 $T\to \infty$，$\tilde{x}(t)$ 趋近于 $x(t)$，式（8）的极限就变成 $x(t)$ 的表达式。再者，当 $T\to \infty$ 时，有 ${\omega }_0\to 0$，式（8）的右边就过渡为一个积分。

右边的每一项都可以看作是高度为 $X(jk{\omega }_0)e^{jk{\omega }_{0}t}$ 宽度为 ${\omega }_0$ 的矩形的面积。式（8）和式（6）就分别变成

$$\boxed{x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }X(j\omega )e^{j\omega t}d\omega }\text{\hspace{1em}(9)}$$

$$\boxed{X(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt}\text{\hspace{1em}(10)}$$

（9）式和 （10）式被称为傅里叶变换对。函数 $X(j\omega )$ 称为 $X(t)$ 的傅里叶变换或傅里叶积分，也通常被称为频谱，而 （9）式称为傅里叶反变换式。

• 例 1
  

• 例 2
  
  

sinc 函数通常所用的形式为

$$sinc(\theta )=\frac{sin\pi \theta }{\pi \theta }\text{\hspace{1em}(11)}$$

2. 周期信号的傅里叶变换

考虑一个信号 $x(t)$，其傅里叶变换 $X(j\omega )$ 是一个面积为 $2\pi$，出现在 $\omega ={\omega }_0$处的单独的一个冲激，即

$$X(j\omega )=2\pi \delta (\omega -{\omega }_0)\text{\hspace{1em}(12)}$$

为了求出与 $X(j\omega )$ 对应的 $x(t)$，可以应用式（9）的反变换公式得到

$$x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }2\pi \delta (\omega -{\omega }_0)e^{j\omega t}d\omega =e^{j{\omega }_{0}t}\text{\hspace{1em}(13)}$$

将上面的结果再加以推广，如果 $X(j\omega )$ 是在频率上等间隔的一组冲激函数的线性组合，即

$$X(j\omega )=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }2\pi a_k\delta (\omega -k{\omega }_0)\text{\hspace{1em}(14)}$$

那么利用式（9），可得

$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}\text{\hspace{1em}(15)}$$

可以看出，式（15）就是一个周期信号所给出的傅里叶级数表示。因此，一个傅里叶级数系数为 $\{a_k\}$ 的周期信号的傅里叶变换，可以看成是出现在成谐波关系的频率上的一串冲激函数，发生于第 $k$ 次谐波频率 $k{\omega }_0$ 上的冲激函数的面积是第 $k$ 个傅里叶级数系数 $a_k$ 的 $2\pi$ 倍。

3. 连续时间傅里叶变换性质

为了方便，我们将 $x(t)$ 和 $X(j\omega )$ 这一对傅里叶变换用下列符号表示

$$x(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }X(j\omega )$$

3.1. 线性

若

$$x(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }X(j\omega )$$

和

$$y(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }Y(j\omega )$$

则

$$\boxed{ax(t)+by(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }aX(j\omega )+bY(j\omega )}\text{\hspace{1em}(16)}$$

3.2. 时移性质

若

$$x(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }X(j\omega )$$

则

$$\boxed{x(t-t_0)\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }{e}^{-j\omega t_0}X(j\omega )}\text{\hspace{1em}(17)}$$

这个性质说明：信号在时间上移位，并不改变它的傅里叶变换的模。

3.3. 共轭及共轭对称性

若

$$x(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }X(j\omega )$$

则

$$\boxed{x^{\ast }(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }{X}^{\ast }(-j\omega )}\text{\hspace{1em}(18)}$$

共轭性质就能证明，若 $x(t)$ 为实函数，那么 $X(j\omega )$ 就具有共轭对称性，即

$$\boxed{X(-j\omega )=X^{\ast }(j\omega )[x(t)为实]}\text{\hspace{1em}(19)}$$

这就是说，傅里叶变换的实部是频率的偶函数，而虚部则是频率的奇函数。

3.4. 微分和积分

$$\boxed{\frac{dx(t)}{dt}\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }j\omega X(j\omega )}\text{\hspace{1em}(20)}$$

$$\boxed{{\int }_{-\infty }^{t}x(\tau )d\tau \stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }\frac{1}{j\omega }X(j\omega )+\pi X(0)\delta (\omega )}\text{\hspace{1em}(21)}$$

3.5. 时间与频率的尺度变换

若

$$x(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }X(j\omega )$$

$$\boxed{x(at)\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }\frac{1}{|a|}X(\frac{j\omega }{a})}\text{\hspace{1em}(22)}$$

若令 $a=-1$，则有

$$\boxed{x(-t)\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }X(-j\omega )}\text{\hspace{1em}(23)}$$

3.6. 对偶性

3.7. 帕斯瓦尔定理

若

$$x(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }X(j\omega )$$

则

$$\boxed{{\int }_{-\infty }^{+\infty }|x(t){|}^{2}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }|X(j\omega ){|}^{2}d\omega }\text{\hspace{1em}(24)}$$

3.8. 卷积性质

$$\boxed{y(t)=h(t)\ast x(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }Y(j\omega )=H(j\omega )X(j\omega )}\text{\hspace{1em}(25)}$$

两个信号在时域内的卷积就等于它们傅里叶变换的乘积。

3.9. 相乘性质

$$\boxed{r(t)=s(t)p(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }R(j\omega )=\frac{1}{2\pi }[S(j\omega )\ast P(j\omega )]}\text{\hspace{1em}(27)}$$

两个信号在时域内的相乘就对应于频域内的卷积。

4. 傅里叶变换性质和基本傅里叶变化列表

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