四元数与姿态阵间的关系式推导

—–下文摘自秦永元的《惯性导航》第二版

　　设有参考坐标系 R  ，坐标轴 x 0 、y 0 、z 0   ，坐标轴方向的单位向量为 i 0 、j 0 、k 0   。刚体相对 R  系做定点转动，定点为 O  。取坐标系 b  与刚体固联， b  系的坐标轴为 x、y、z  ，坐标轴方向的单位向量为 i、j、k  。假设初始时刻 b  系与 R  系重合。为了便于分析刚体的空间位置，刚体上取一点 A  ，转动点 O  至该点引位置向量 OA  ，如下图所示：

　　设刚体以 ω=ω x i+ω y j+ω z k  相对 R  系旋转，初始时刻位置向量处于 OA=r  经过时间 t 后位置向量处于 OA ′ =r ′   。根据欧拉定理，仅考虑刚体在 0 时刻和 t 时刻的角位置时，刚体从 A  位置转到 A ′   位置的转动可等效成绕轴 u  （单位向量）转过 θ  角一次完成这样，位置向量做圆锥运动， A  和 A ′   位于同一圆上， r  和 r ′   位于同一圆锥上。
　　下面分析 r  和 r ′   的关系。在圆上取一点 B  使 ∠AO ′ B=90°  ，有上图可得：
　　 OO ′ =(r∙u)u 
　　 O ′ A=r−OO ′ =r−(r∙u)u 
　　 O ′ B=u×O ′ A=u×r−(r∙u)u=u×r 
　　 O ′ A ′ =O ′ Acosθ+O ′ Bsinθ=rcosθ−(r∙u)ucosθ+u×rsinθ 
所以
　　 r ′ =OO ′ +O ′ A ′ =rcosθ+(1−cosθ)×(r∙u)u+u×rsinθ 
由矢量三重积计算公式:
　　 u×(u×r)=u(u∙r)−(u∙u)r=(r∙u)u−r 
即
　　 (r∙u)u=r+u×(u×r) 
所以
　　 r ′ =rcosθ+(1−cosθ)[r+u×(u×r)]+u×rsinθ=r+u×rsinθ+(1−cosθ)u×(u×r) 
将上式向 R  系内投影：
　　 r ′R =r R +(u×r) R sinθ+(1−cosθ)[u×(u×r)] R  
记

又根据叉乘关系表达式

记

则
　　 (u×r) R =Ur R  
　　 [u×(u×r)] R =U∙Ur R  
所以
　　 r ′R =r R +Ur R sinθ+(1−cosθ)U∙Ur R =(I+2Usinθ2 cosθ2 +2sin 2 θ2 U∙U)r R  
令
　　 D=I+2Usinθ2 cosθ2 +2sin 2 θ2 U∙U 
则有：
r ′R =Dr R  
　　记初始时刻的刚体固联坐标系为 b 0   ，由于初始时刻刚体固联坐标系与参考坐标系重合所以 r R =r b 0    而在转动过程中，位置向量和 b  系都同刚体固联，所以位置向量和 b  系的相对角位置始终不变，即有:
　　 r R =r ′R =Dr ′b  
该式说明 D  即为 b  系至 R  系的坐标变换矩阵。
　　 C R b =I+2Usinθ2 cosθ2 +2sin 2 θ2 U∙U 
即

令

并以 q 0 q 1 q 2 q 3   构造四元数：
Q=q 0 +q 1 i 0 +q 2 j 0 +q 3 k 0 =cosθ2 +(li 0 +mj 0 +nk 0 )sinθ2 =cosθ2 +u R sinθ2  
则可得如下结论：

1. 四元数 Q=cosθ2 +u R sinθ2   描述了刚体的定点转动，即当只关心 b  系相对 R  系的角位置时，可认为 b  系是由 R  系经过无中间的一次性等效旋转形成的， Q  包含了这种等效旋转的全部信息： u R   为旋转瞬时轴和坐标变换矩阵， θ  为转过的角度。
2. 四元数可以确定 b  系至 R  系的坐标变换矩阵。
   
   由于 ‖q‖=q 2 0 +q 2 1 +q 2 2 +q 2 3 =cos 2 θ2 +(l+m+n)sin 2 θ2 =1  ，所以可以进一步推得如下结论：
   (1)描述刚体旋转的四元数是规范化四元数。
   (2)
   (3)如果将向量 r R   和 r b   看作零标量的四元数，则 r R   和 r b   间的变换关系可采用四元数乘法表示： r R =Q⊗r b ⊗Q ∗   该式称为坐标变换的四元数表示法，其中 Q  为 R  至 b  系的旋转四元数。坐标变换的矩阵表示法为： r R =C R b r b