判断极值_拐点的三个充要条件以及一个必要

极值

一阶可导点是极值点的必要条件

设 f(x) 在 x=x0 处可导，且在点 x0 处取得极值，则必有

又是费马定理

判断极值的第一充分条件

判断极值的第二充分条件

判断极值的第三充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导，且

当 n 为偶数时
必须n为偶数。

证明：

由于n为偶数，令 n=2k，构造极限

上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

由函数极限的局部保号性可得：

x0 极大值点

x0 极小值点

证毕

拐点

二阶可导点是拐点的必要条件

设 f’’(x) 存在，且点 （x0，f(x0) ) 为曲线拐点，则

判断拐点的第一充分条件

判断拐点的第二充分条件

判断拐点的第三充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导，且
在n-1阶导数为0
在n阶导数不为0

当 n 为奇数时
n只可以为奇数

证明：

由于n为奇数，令 n=2k+1，构造极限

上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

由函数极限的局部保号性可得：

故点（x0，f(x0) ) 为曲线拐点

证毕

提醒

对于极点来说,为一维所以只用表示出x=?即可
对于拐点来说为二维所以要说出点的坐标
如果是拐点值来说就是y的值了。

极点和拐点相对来说就是维度的差别。和可导数的差别。