树状数组—求第k小的数—入门详解
第k大的数有太多的方法来求了，这是一个十分基础的问题，可以由很多种数据结构来完成。
常用的有排序、主席树……。今天我要介绍一种更快更简洁的算法（Duang！）——树状数组。哦？它也可以求第k大？它不是只用于求区间和的算法吗？怎么还可以用来求大小关系？哈哈，一会就让你大开眼界。
思路
建一个权值树状数组。何为权值树状数组？大家有没有听说过权值线段树？权值线段树就是记录同数值的数的个数的线段树。例如有3,5,5,6四个数，那么ask[3,3]=1，ask[5,5]=2，ask[6,6]=1，ask[3,6]=4。权值树状数组同理。
这样利用树状数组就是个创举，在赋予树状数组这样特殊的含义后，我们开始有点感觉了，求第k小的数，不就是求getsum[1,val]≈k的数嘛。（为什么是约等于，在知道原理后我们再细细分析，前面可以初略理解成等于）
我们采用逐步逼近的方法，利用倍增的思想，我们从2^n开始，试着从1加上一个2^n，如果getsum[1,val]
这里请大家好好体会getsum[a,b]的一些深层意义：
1、getsum[1,b]表示的是 小于等于 b的值的数的个数。
2、getsum[1,b]可以表示值b的排名，这个排名是以最后的排名为准的排名。举个例子：1,3,3,4,4,7，根据getsum算出来的1,(2,)3,4,(5,6,)7排名分别为1,(1,),3,(5,)6。因为有同值的数，会使得排名呈不连续状，所以就会出现有 排名后推、空排名 的现象。看到这里，应该对树状数组求第k大已经有了个框架吧。下面通过抠几个细节，来更加充分地理解它。
细节1：约等号的秘密
这样就可以得到接近第k小的数了。再仔细地考虑一下，如果我们设定的getsum[1,val]目标是等于k，意思就是从值1到val共有k个数。如果值为val的数有5个，值小于val的数有7个，就是getsum[1,val-1]=7,getsum[val,val]=5，我们要求第(k=) 8 小，答案显然为val。如果按设定做，那就是getsum[1,val]=12 >8(k)，应该是不会跳到val上的，它会停在(now=) val-1 上，故答案为now+1。若在以上数据求第12小，答案显然为val。getsum[1,val]=12 =12(k)，它会恰好停在(now=) val 上，故答案为now。
这就出问题了，当恰好求的是有多个数同值中的最后一名，或特殊些的，是无同值的名次时，答案是now。当求的是多个数同值中的非最后一名时，答案是now+1。这些都是有同值时才会出现的问题。具体一点，我们考虑的就是等于号的问题。我们很希望能恰好直接找到一个排名等于k的值。但是，不一定会有这个排名（根据意义2可以理解），它可能要往后推一点。这就是等号造成的麻烦。
于是我们去掉等号，设定目标为getsum[1,val]
细节2：getsum的逆序思想
代码中是这样写的 sum+s[now+bin[i]]含义解释：sum记录名次，now记录数值。sum+s[now+bin[i]]是新的排名。
为什么sum这个排名会加上s呢？s是一个十分没有规律的东西，一般不会单独拿来用，这里是什么意思呢？怎么sum从大到小，s管理的数据也是从大到小，前面加到sum的s不会已经包含了新加的s，不是重复计算了一些数值吗？
提出这个问题的同学，一定是树状数组学得不扎实的。我学得很扎实
看着这张很经典的图，我们思考，根据上面的分析，s[now+bin[i]]一定是在sum所计算的之外的。于是我们猜测，now是不是管不到now+bin[i]，换句好说，now+bin[i]是不是在now的管理范围之外？到这里，我们就要好好理解理解bin[i]在起了什么所用了。
由于bin是从大到小的枚举，因此now不可能成倍的增加。既然增加幅度有限，意思就是可能无法跳到(old=) +bin[i]前的now（就是上一个now） 的头上，换句话说，它跳到的s可能是不包含old的。再换句话说，now只能越跳越低、越跳越远。
下面我们来简单证明它。众所周知，树状数组中每个点管理的范围和区间与它的二进制有关。bin是越来越小的，也就是说1000000 (2)，可能会变成1010000 (2)，就是把最后的那些0改成1。最后的那些0越多，这个点管理的范围也就越大。而现在在不停地补0，就是想让这个点的管理范围减小；因为是改0为1，注定会使这个点的编号增大。所以它会越跳越远、越跳越低。所以它一定一定不会重复以前已经累加过的数据
平时，不用getsum的树状数组就是一个占码量的数组，这回，我们开辟了船新模式，就是不需要getsum。两者都可以求和，那两者的区别究竟在哪里呢？怎么这次要突然来个创新呢？
我们都知道getsum中用的是lowbit，它能够让x跳到恰好管理不到x的地方，从远往近，从低往高，从而求和。我们这里的sum用的是bin，从0每次尝试着往远跳，从近往远，从高往低，从而求和。这可以说是getsum的逆方向的计算！也恰好适应了倍增逼近的思想。
例题：（来源：poj2985）
【题意】有N只猫,开始每只猫都是一个小组。下面要执行M个操作：
操作0 i j 是把i猫和j猫所属的小组合并；
操作1 k 是问你当前第k大的小组大小是多少（k<=当前的最大组数）。
【正解】
并查集+树状数组
看到组的合并，很自然地想到并查集，于是用并查集维护集合，顺便记录集合的大小。求第k大的小组的大小才是重头戏。
我们发现上面介绍的树状数组求第k大的方法安全适用!
但是上面介绍的是求第k小，实际上树状数组最好是用来求第k小的。聪明的你很容易想到，第k大不就是第n-k+1小吗？然后妥妥地用树状数组轻松A过。
下面给出代码，顺便作树状数组求第k小的数的模版。【代码】
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn=200010;
int bin[30];
int n,m,tot;
int fa[maxn],num[maxn];
int s[maxn];//权值树状数组
//************树状数组
int lowbit(int x)
{
return x&-x;
}
void add(int x,int c)//意思是值为x的数，增加了c个
{
for(;x<=n;x+=lowbit(x))
{
s[x]+=c;
}
}
//************并查集
int find_fa(int x)
{
if(fa[x]==x) return x;
return fa[x]=find_fa(fa[x]);
}
void link(int x,int y)
{
int fx=find_fa(x),fy=find_fa(y);
if(fx!=fy)
{
tot--;//tot用于求目前还剩几个组
fa[fy]=fx;
add(num[fx],-1);add(num[fy],-1);
num[fx]+=num[fy];
add(num[fx],1);
}
}
//************主要函数
int query(int k)//求第k小的数
{
int sum=0,now=0;//sum记录名次，now记录数值
for(int i=20;i>=0;i--)
{ //sum+s[now+bin[i]]是新的排名
if(now+bin[i]<=n && sum+s[now+bin[i]]