怎样理解异或

一、异或

异或是离散数学中逻辑运算的一种二元计算，符号为⊕，当符号前后的两者分别为F和T时，结果才为T，若两者都是F，或两者都是T，则运算结果为F。即，

V1	V2	结果
F	F	F
F	T	T
T	F	T
T	T	F

两个数字也可以做异或操作，首先需要把两个数字转换为二进制，并把每一位的数字两两做如下比较：

V1	V2	结果
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

例如 3 ⊕ 5：
3的二进制为011，5的二进制为101，两者异或的结果，根据上面的表格，是110，也就是6。

二、如何理解异或

我们由前面的内容可以得知，异或真正的目的是找不同，即相同的数字作异或为T，不同的数字做异或为F。当异或对二进制数字使用的时候，它表达的是数字每位是否相同；当对十进制或其他进制的数字进行异或计算时，得出的结果代表两个数字相不相同。

三、异或的应用

在了解异或的数学背景后，我们来看一下在编程中异或的应用。以Java为例，在Java中，异或操作符为^

1) 数值型变量值交换

int a = 3;
int b = 5;
// 交换a和b

最基础的写法是

int c = a;
a = b;
b = c;

应用异或我们可以写成：

a = a ^ b;
b = a ^ b;
a = a ^ b;

我们来分析一下。a的二进制为011， b的二进制为101。

行数	a	b
1	110	101
2	110	011
3	101	011

至此，a现在是101，b是011，两者完成交换。既然我们要交换a和b，那么我们只需要交换它们不相同的位置上的数字即可。第一次a与b作异或，找到的是a和b位数不同的地方，并把新的值赋给了a，第二次作异或，a现在的结果是a和b哪些位数相同(0)与哪些位数不同(1)。让a与b做异或，b的每一位如果遇到一样的(0)，如果这一位是1，就会是1，如果这一位原本是0，就还是0；如果遇到不一样的(1)，b的这一位如果是1，就会变成0；如果是0，就会变成1，从而完成了把一样的留存下来，把不一样的去相反的操作，也就是把a的初始值赋给了b。之后做相同的操作，把b的值赋给了a，从而完成了交换操作。

2) Leetcode: 找数组中不重复的数字

假设一个数组中有两两成对的数字，只有一个数字是不成对的，请问是哪一个数字。例如，{1,2,2,3,3}，不重复的数字是1。
因为a ^ b = b ^ a，所以异或满足交换律，也就是说，我们对整个数组做异或，可得，1 ^ 2 ^ 2 ^ 3 ^ 3 = 1 ^ (2 ^ 2) ^ (3 ^ 3) = 1 ^ 0 ^ 0 = 1。实现代码如下，

int aim = numarray[0];
for(int i = 1; i < aim.length; i++){
    aim ^= numarray[i];
}
return aim

3) Leetcode: 找数组中重复的数字

假设一个数组中，只有一个数字重复出现了两次，其余的数字都只出现了一次，请问是哪一个数字。例如，{1,2,2,3}，重复出现的数字为2。
设1 ^ 2 ^ … ^ k ^ … ^ 1000 = A, 则1 ^ 2 ^ … ^ k ^ k ^ … ^ 1000 = 1 ^ 2 ^ … ^ k ^ … ^ 1000 ^ k = A ^ k，A ^ A ^ k = 0 ^ k = k。也就是说，我们先把1-1000做异或(记为A)，再把整个数组中的数字依次做异或(记为B)，最后再将A与B做异或，即可找出我们要找的数字。实现代码如下：

int A = 1;
for(int i = 2;i<=1000;i++){
    A ^= i;
}

int B = numarray[0];
for(int i = 1; i < B.length; i++){
    B ^= numarray[i];
}

return A ^ B;

四、参考资料

[1]. 知乎 - 张英锋：如何理解异或的含义
[2]. Java中的异或运算符^
[3]. Java中异或运算的应用