CodeForces-431D Random Task（二分答案+数位DP）

题意

给定 $m$ 和 $k$ ，求一个 $n$ 使得 $[n+1,2n]$ 范围内的数中二进制恰好有 $k$ 个 $1$ 的数，恰有 $m$ 个。
$0\le m\le 10^{18}$
$1\le k\le 64$

思路

有一个“显然”的单调性，$n$ 越大，$[n+1,2n]$ 中的数含有 $k$ 个 $1$ 的数单调不减，无论 $k$ 的取值。
其实也不难证，当 $n-1$ 变为 $n$ 时，区间从 $[n,2n-2]$ 挪到 $[n+1,2n]$ 时，我们失去了 $n$，获得了 $2n-1,2n$ ，而 $2n$ 和 $n$ 的二进制含有的 $1$ 数相同，而多的那个 $2n-1$ 又不会让含有 $k$ 个 $1$ 的数变少，由此得出单调性。
那就直接二分 $n$，用数位$\text{dp}$验证答案即可。

代码

#include
#include
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#include
#include
#include
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i<=(y);++i)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i>=(y);--i)
typedef long long LL;
using namespace std;
LL dp[70][70],m;
int num[70],K;

LL dfs(int k,int status,bool ismax)
{
	if(k==0)return status==K;
	if(~dp[k][status]&&!ismax)return dp[k][status];
	int maxer=ismax?num[k]:1;LL res=0;
	FOR(i,0,maxer)res+=dfs(k-1,status+i,ismax&&i==maxer);
	if(!ismax)dp[k][status]=res;
	return res;
}

LL solve(LL k)
{
	int n=0;
	while(k)
	{
		num[++n]=k%2;
		k>>=1;
	}
	return dfs(n,0,1);
}

int main()
{
	scanf("%lld%d",&m,&K);
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	LL L=1,R=1e18;
	while(L<R)
	{
		LL mid=L+R>>1;
		if(solve(mid*2)-solve(mid)>=m)
		{
			R=mid;
		}
		else L=mid+1;
	}
	printf("%lld\n",L);
    return 0;
}