素数

数可以分为两类，素数，合数；合数又可以分解为素数；所以掌握一些有关素数的知识很有必要；（素数定义：只能被1和自己整除的数成为素数；）

1.①线性筛素数（Eratosthenes筛法）

伪代码如下：

const int maxn=100005;
bool v[maxn];
void found_prime()//筛法素数打表 
{
	int m=sqrt(maxn+0.5);
	memset(v,true,sizeof(v));
	v[0]=v[1]=false;
	for(int i=2;i<=m;i++)
	{
		if(v[i]==true)
		{
			for(int j=i*i;j

  ②快速线性筛素数（欧拉筛法）

伪代码如下：

const int maxn=1000005;
int prime[maxn],num_prime=0;
bool isnotprime[maxn]={1,1};
void found_prime()//快速线性筛法 
{
	for(int i=2;i

2.约数个数定理。（参考刘汝佳的算法竞赛入门经典p321）

给出一个正整数n的唯一分解式n=p1^a1 * p2^a2 * p3^a3...pk^ak，求n的正约数个数。

分析：不难看出，n的任意正约数也只能包含p1，p2，p3等素因子，而不能有新的素因子出现。对于n的某个素因子pi，它在所求约数中的指数可以是0，1，2...ai共ai+1种情况，而不同的素因子之间相互独立。根据乘法级数原理，n的正约数个数为：(a1+1)(a2+1)(a3+1)...(ak+1);

3.约数和定理。

对于一个大于1正整数n可以分解质因数：n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…*pk^ak,

则由约数个数定理可知n的正约数有(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(ak+1)个，

那么n的(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(ak+1)个正约数的和为f(n)=(p1^0+p1^1+p1^2+…p1^a1)(p2^0+p2^1+p2^2+…p2^a2)…(pk^0+pk^1+pk^2+…pk^ak）

证明：若n可以分解质因数：n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…*pk^ak,

可知p1^a1的约数有:p1^0, p1^1, p1^2......p1^a1

…

同理可知，pk^ak的约数有:pk^0, pk^1, pk^2......pk^ak ；

实际上n的约数是在p1^a1、p2^a2、...、pk^ak每一个的约数中分别挑一个相乘得来，可知共有(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(ak+1)种挑法，即约数的个数。

由乘法原理可知它们的和为f(n)=(p1^0+p1^1+p1^2+…p1^a1)(p2^0+p2^1+p2^2+…p2^a2)…(pk^0+pk^1+pk^2+…pk^ak）