因数最多的数【DFS】

一、题目：

蒜头君对一个数的因数个数产生了兴趣，他想知道在1~n的范围内，因数个数最多的数是多少。如果有多个这样的数，他想知道最小的那个。

 

输入格式	第一行一个整数T，表示数据的组数 接下来T行，每行一个正整数n 1<=T<=100,1<=N<=10^16
输出格式	一共输出T行，每行1个正整数表示最多因数个数的数

I

Input:
3
10
100
1000

Output:
6
60
840

 二、分析

这个数的范围在10^16,显然线性找一遍是不能承受的。

解决的一种方式是枚举法。我们知道一个数N可以表示成 ,其中pi为质数。他的因数个数为。

如12 = 2^2 * 3…^1，那么他的因数个数有（2 + 1）×（1+1）= 6.( 即质数2选0个，1个，2个共3中情况，质数3选0个，1个两种情况，共6种情况。12的因数为1,2,3,4,6,12共6个）。

 

本题中，我们发现，前15个质数的积大于10^16。于是我们可以像八皇后枚举每个皇后的列的位置一样，本题可以枚举这15个质数每个质数的个数。

同时我们还有注意以下的剪枝情况：

• 第i个质数的次数一定大于等于第i+1个质数的次数。因为我们求最小的那个因数最多的数。如2^2 * 3 ^ 3 = 4 * 27 = 108.有(2 + 1) *(3 + 1) = 12个质数，但是如果我们把大小质数的次数交换一下。2^3 * 3 ^ 2 = 8 * 9 = 72.同样也有12个质数。因数个数不变，但是数变小了。这样一来可以大大减少枚举的计算量。
• 如果当前枚举质因子得到的数大于N，那剪枝即可

三、代码：

#include 
using namespace std;
typedef long long LL;

LL n, ans, mc;  //mc因数个数最大值，ans因数个数最多的那个数
const int prime[15] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47};

/* 
    u:  当前正在考虑那个质因数？
    m:  当前这个质因数的最大次数是多少？ 
    x:  当前这个数是多少？
    cnt:当前这个数的因数有多少？
*/
void dfs(int u, int m, LL x, LL cnt) {
    if (cnt > mc) {
        mc = cnt;
        ans = x;
    } else if (cnt == mc && x < ans) {
        ans = x;
    }
    if (u == 15) return;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        x = x * prime[u];
        if (x > n) break;
        dfs(u + 1, i, x, cnt * (i + 1));	//这里第2个参数是i，是第i个因子次数>=第i+1个因子次数，减少搜索量。 
    }
}

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n;
        mc = 0;
        dfs(0, 60, 1, 1);    //从第0个质数开始考虑，初始的质数的次数不超过60，初始的数为1，初始的数的因数个数为1.
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}