小朋友学奥数(1)

题目:

有六十多人站成一行,从左到右由1开始按1、2、3、4依次循环报数,然后从右到左由1开始按1、2、3依次循环报数,最后发现刚好有12个人既报了1又报了2.请问:这一行最少有多少人?最多有多少人?

分析:

(1)
注意,从左往右是每4次一个循环,从右往左是每3次一个循环。他们的最小公倍数是12。
随意列举几种情况

从左到右 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
从右到左 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1
有两个人既报了1又报了2。


从左到右 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3
从右到左 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2
也有两个人既报了1又报了2。


从左到右 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1
从右到左 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2
也有两个人既报了1又报了2。其中一个在最左侧,另一个在最右侧。

(2)
从上面几个例子可以看出,每12个人中,无论从哪个数开始报,必然会有2个人既报1又报2。
如果是60个人,就有10人既报1又报2。如果是72人,就有12人既报1又报2。
72人中,符合报1又报2的人有12人,这是必然情况。

(3)
那么最少需要多少人呢?
61人可以吗?假如第61人既报1又报2,加上前面的10人,总共才11人,不足12人。所以61人肯定是不够的。
那么62人可以吗?假如第61人和第62人,既报1又报2,则恰巧是12人符合条件。那么怎样报数才能达到“第61人和第62人既报1又报2”的效果呢?

咱们先只考虑最后这两人的情况。
从左到右 1 2
从右到左 2 1
从左往右数,第61人报1、第62人报2;从右往左数,第62人报1、第61人报2;前面的60人则只要按相应的顺序报就可以了。因为无论怎样报,都会有10人既报1又报2。

这样的话,62人中,满足12人既报1又报2的报数顺序为:
从左到右:
123412341234,123412341234,123412341234,123412341234,123412341234,12
从右到左:
213213213213,213213213213,213213213213,213213213213,213213213213,21

(4)
既然62人和72人都满足题意,那么,62~72之间的任何一个整数都满足题意。因为题目要求是“六十多人”,所以最多是69人。

(5)
下面再看看63人的情况。前面60不用看了,肯定有10个人既报1又报2,只看最后三个人就可以了。
最后这三个人里,必然包含报1和报2的人。考虑到报数顺序,只有两种情况


从左到右 1 2 3
从右到左 2 1 3
这种情况下的完整报数顺序:
从左到右:
123412341234,123412341234,123412341234,123412341234,123412341234,123
从右到左:
213213213213,213213213213,213213213213,213213213213,213213213213,213


从左到右 4 1 2
从右到左 3 2 1
这种情况下的完整报数顺序:
从左到右:
412341234123,412341234123,412341234123,412341234123,412341234123,412
从右到左:
321321321321,321321321321,321321321321,321321321321,321321321321,321

(6)
依照上面的分析思路,同样可以分析出64人、65人等的报数情况。这里不一一列举,也没有必要一一列举,掌握思路就可以。

答案:

最少62人,最多69人


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