矩阵可对角化条件
文章目录
- 充要条件①
- 定理2
- 充要条件②
- 充要条件③
充要条件①
A A A有 n n n个线性无关的特征向量 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn，此时令 P = ( α 1 , α 2 , . . . , α n ) P=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n) P=(α1,α2,...,αn)有 P − 1 A P = d i a g { λ 1 , . . . , λ n } P^{-1}AP=diag\{\lambda_1,...,\lambda_n\} P−1AP=diag{λ1,...,λn}
- λ i \lambda_i λi是 α i \alpha_i αi所属的特征向量
- d i a g { λ 1 , . . . , λ n } diag\{\lambda_1,...,\lambda_n\} diag{λ1,...,λn}称为 A A A的相似标准形
- 除了对角矩阵元素的排列次序可变动， A A A的相似标准形是唯一的
定理2
设 λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1,λ2是数域 K K K上的 n n n级矩阵 A A A得到不同特征值， α 1 , α 2 , . . . , α s 和 β 1 , . . . , β r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s和\beta_1,...,\beta_r α1,α2,...,αs和β1,...,βr分别是 A A A的属于 λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1,λ2的线性无关的特征向量，则 α 1 , α 2 , . . . , α s , β 1 , . . . , β r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta_1,...,\beta_r α1,α2,...,αs,β1,...,βr线性无关
怎么证呢？
即：矩阵的特征值不同，对应的特征向量线性无关
充要条件②
A A A的属于不同特征值的特征子空间维数之和 = n =n =n，即 r 1 + r 2 + . . . + r m = n r_1+r_2+...+r_m=n r1+r2+...+rm=n
充要条件③
A A A的特征多项式的全部复根都 ∈ K \in K ∈K，且 A A A的每个特征值的 几 何 重 数 = 代 数 重 数 几何重数=代数重数 几何重数=代数重数
- 可以用这个条件推不可对角化：
- A A A的特征多项式若有一个复根 ∉ K \notin K ∈/K
- 有一个特征值的几何重数<代数重数