一个分块矩阵求逆矩阵的结论
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- P205 例15
- 解
P205 例15
B = ( 0 B 1 B 2 0 ) B=\begin{pmatrix}0&B_1\\B_2&0\end{pmatrix} B=(0B2B10)
其中 B 1 、 B 2 B_1、B_2 B1、B2分别是 r 、 s r、s r、s级矩阵。求 B B B可逆的充要条件以及 B B B可逆时的 B − 1 B^{-1} B−1
解
- 由Laplace定理可得 ∣ B ∣ = ( − 1 ) r s ∣ B 1 ∣ ∣ B 2 ∣ |B|=(-1)^{rs}|B_1||B_2| ∣B∣=(−1)rs∣B1∣∣B2∣ ⇒ ∣ B 1 ∣ ≠ 0 , ∣ B 2 ∣ ≠ 0 则 B 可 逆 \Rightarrow |B_1|\ne0,|B_2|\ne0则B可逆 ⇒∣B1∤=0,∣B2∤=0则B可逆
- 此时有 ( 0 B 1 B 2 0 ) ⋅ ( 0 B 2 − 1 B 1 − 1 0 ) \begin{pmatrix}0&B_1\\B_2&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0&B_2^{-1}\\B_1^{-1}&0\end{pmatrix} (0B2B10)⋅(0B1−1B2−10) = ( I r 0 0 I s ) =\begin{pmatrix} I_r&0\\0&I_s\end{pmatrix} =(Ir00Is)
- ⇒ \Rightarrow ⇒ ( 0 B 1 B 2 0 ) − 1 = ( 0 B 2 − 1 B 1 − 1 0 ) \begin{pmatrix}0&B_1\\B_2&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}0&B_2^{-1}\\B_1^{-1}&0\end{pmatrix} (0B2B10)−1=(0B1−1B2−10)