上下三角矩阵的性质们
文章目录
- 定义
- 性质
- 性质1
- 性质2：与幂零矩阵的关系
- 性质3:逆矩阵
- 性质4:与所有方阵的关系
- 性质5
- 证明：
- 性质6：LU分解
定义
上三角：主对角线下方元素全为0的方阵
A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A=(aij)是上三角 ⇔ \Leftrightarrow ⇔
- ① a i j = 0 , i > j a_{ij}=0,i>j aij=0,i>j
- ② A = ∑ i = 1 n ∑ j = i n a i j E i j A=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=i}^na_{ij}E_{ij} A=i=1∑nj=i∑naijEij
下三角类似的定义：
- 主对角线下方元素全是0；
- a i j = 0 , i < j a_{ij}=0,i<j aij=0,i<j
- A = ∑ j = 1 n ∑ i = j n a i j E i j A=\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{i=j}^na_{ij}E_{ij} A=j=1∑ni=j∑naijEij
性质
性质1
- 两个 n n n级上三角矩阵 A A A与 B B B的乘积也是上三角
- A B AB AB的主对角元=A与B相应对角元的乘积
性质2：与幂零矩阵的关系
- ①上下三角矩阵是幂零矩阵 ⇔ \Leftrightarrow ⇔它的主对角元是0
- ②若 n n n级上下三角矩阵为幂零矩阵 ⇒ \Rightarrow ⇒矩阵的幂零指数为 l ≤ n l\le n l≤n
性质3:逆矩阵
数域上可逆的上(下)三角矩阵的逆矩阵也是上(下)三角矩阵
性质4:与所有方阵的关系
任何方阵都能表示成一些下三角矩阵和上三角矩阵的乘积
注意！！
不是左边下三角×右边上三角，是可以打乱的顺序！
性质5
顺序主子式：
设 A A A是 n n n级矩阵，行标和列标都是 1 , 2 , . . . , k 1,2,...,k 1,2,...,k的子式称为 A A A的 k k k阶顺序主子式
证明：若 A A A的所有顺序主子式都 ≠ 0 ⇒ \ne 0\Rightarrow ̸=0⇒ ∃ n 级 下 三 角 矩 阵 B ， 使 得 B A 为 上 三 角 矩 阵 \exist n级下三角矩阵B，使得BA为上三角矩阵 ∃n级下三角矩阵B，使得BA为上三角矩阵
证明：
- 采用数学归纳法证明
- n = 1 n=1 n=1时显然成立
- 假设对于 n − 1 n-1 n−1级矩阵命题为真，下面证 n n n级矩阵 A A A也满足命题
- 把 A A A写成分块矩阵的形式： A = ( A 1 α β a n n ) A=\begin{pmatrix}A_1&\alpha\\\beta&a_{nn}\end{pmatrix} A=(A1βαann)由题设， A 1 A_1 A1可逆
- 先把 β \beta β给弄掉，使 A A A变成上三角的形式 ⇒ \Rightarrow ⇒ A → ② − β A 1 − 1 ⋅ ① ( A 1 α 0 a n n − β A 1 − 1 α ) A\xrightarrow{②-\beta A_1^{-1}\cdot①}\begin{pmatrix}A_1&\alpha\\0&a_{nn}-\beta A_1^{-1}\alpha\end{pmatrix} A②−βA1−1⋅①(A10αann−βA1−1α)由于对 n − 1 n-1 n−1阶矩阵满足命题∴存在一个下三角矩阵 B 1 B_1 B1使得 B 1 A 1 为 上 三 角 B_1A_1为上三角 B1A1为上三角
- ⇒ \Rightarrow ⇒ ( B 1 0 0 1 ) ( A 1 α 0 a n n − β A 1 − 1 α ) 为 上 三 角 \begin{pmatrix}B_1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_1&\alpha\\0&a_{nn}-\beta A_1^{-1}\alpha\end{pmatrix}为上三角 (B1001)(A10αann−βA1−1α)为上三角
- 令 B = ( B 1 0 0 1 ) ⋅ ( I n − 1 0 − β A 1 − 1 1 ) B=\begin{pmatrix}B_1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}I _{n-1}&0\\-\beta A_1^{-1}&1\end{pmatrix} B=(B1001)⋅(In−1−βA1−101) = ( B 1 0 − β A 1 − 1 1 ) 为 下 三 角 =\begin{pmatrix}B_1&0\\-\beta A_1^{-1}&1\end{pmatrix}为下三角 =(B1−βA1−101)为下三角
性质6：LU分解
- 数域 K K K上 n n n级矩阵 A A A能分解成： A = B C A=BC A=BC
- B : 主 对 角 元 都 是 1 的 下 三 角 B:主对角元都是1的下三角 B:主对角元都是1的下三角
C : 可 逆 上 三 角 C:可逆上三角 C:可逆上三角
且分解形式唯一 - 当且仅当： A A A的各阶顺序主子式全 ≠ 0 \ne0 ̸=0