分块矩阵的性质
文章目录
- 命题1 and 推论
- 主对角线上所有的子矩阵都是方阵
- 命题2
- 命题3
- 命题2的应用
- 例题①
- 证明
- 例题②
- 证明
命题1 and 推论
- A s × n ≠ 0 A_{s×n}\ne 0 As×n̸=0
- B n × m 的 列 向 量 组 是 β 1 , β 2 , . . . , β m B_{n×m}的列向量组是\beta_1,\beta_2,...,\beta_m Bn×m的列向量组是β1,β2,...,βm
- A B = A ( β 1 , β 2 , . . . , β m ) = ( A β 1 , A β 2 , . . . , A β m ) AB=A(\beta_1,\beta_2,...,\beta_m)=(A\beta_1,A\beta_2,...,A\beta_m) AB=A(β1,β2,...,βm)=(Aβ1,Aβ2,...,Aβm)
- A B = 0 ⇔ β 1 , β 2 , . . . , β m 都 是 方 程 组 A X = 0 的 解 AB=0\Leftrightarrow \beta_1,\beta_2,...,\beta_m都是方程组AX=0的解 AB=0⇔β1,β2,...,βm都是方程组AX=0的解
主对角线上所有的子矩阵都是方阵
命题2
- A s × n , B n × m A_{s×n},B_{n×m} As×n,Bn×m
- ∣ I n B A I s ∣ = ∣ I s − A B ∣ = ∣ I n − B A ∣ \begin{vmatrix}I_n&B\\A&I_s\end{vmatrix}=|I_s-AB|=|I_n-BA| ∣∣∣∣InABIs∣∣∣∣=∣Is−AB∣=∣In−BA∣
命题3
- A = ( A 1 A 3 O A 2 ) A=\begin{pmatrix}A_1&A_3\\O&A_2\end{pmatrix} A=(A1OA3A2)
- A 1 , A 2 A_1,A_2 A1,A2是方阵
- A 可 逆 ⇔ A 1 , A 2 都 可 逆 ， 此 时 有 A可逆\Leftrightarrow A_1,A_2都可逆，此时有 A可逆⇔A1,A2都可逆，此时有 A − 1 = ( A 1 − 1 − A 1 − 1 A 3 A 2 − 1 0 A 2 − 1 ) A^{-1}=\begin{pmatrix}A_1^{-1}&-A_1^{-1}A_3A_2^{-1}\\0&A_2^{-1}\end{pmatrix} A−1=(A1−10−A1−1A3A2−1A2−1)
命题2的应用
例题①
- A A A是 n n n级可逆矩阵
- α = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) ′ \alpha=(a_1,a_2,...,a_n)' α=(a1,a2,...,an)′
- 证明： ∣ A − α α ′ ∣ = ( 1 − α ′ A − 1 α ) ∣ A ∣ |A-\alpha\alpha'|=(1-\alpha'A^{-1}\alpha)|A| ∣A−αα′∣=(1−α′A−1α)∣A∣
证明
用命题②就超简单的
∣ A − α α ′ ∣ = ∣ A ( I n − ( A − 1 α ) α ′ ) ∣ |A-\alpha\alpha'|=|A(I_n-(A^{-1}\alpha)\alpha')| ∣A−αα′∣=∣A(In−(A−1α)α′)∣ = ∣ A ∣ ∣ I 1 − α ′ ( A − 1 α ) ∣ =|A||I_1-\alpha'(A^{-1}\alpha)| =∣A∣∣I1−α′(A−1α)∣
例题②
计算 ∣ A ∣ |A| ∣A∣ A = ( 0 2 a 1 3 a 1 . . . n a 1 a 2 a 2 3 a 2 . . . n a 2 . . . . . . . . . . . . . . . a n 2 a n 3 a n . . . ( n − 1 ) a n ) A=\begin{pmatrix}0&2a_1&3a_1&...&na_1\\a_2&a_2&3a_2&...&na_2\\...&...&...&...&...\\a_n&2a_n&3a_n&...&(n-1)a_n\end{pmatrix} A=⎝⎜⎜⎛0a2...an2a1a2...2an3a13a2...3an............na1na2...(n−1)an⎠⎟⎟⎞ a 1 a 2 . . . a n ≠ 0 a_1a_2...a_n\ne0 a1a2...an̸=0
证明
- 机智的我立刻就发现了玄机： A = ( a 1 2 a 1 3 a 1 . . . n a 1 a 2 2 a 2 3 a 2 . . . n a 2 . . . . . . . . . . . . . . . a n 2 a n 3 a n . . . n a n ) − A=\begin{pmatrix}a_1&2a_1&3a_1&...&na_1\\a_2&2a_2&3a_2&...&na_2\\...&...&...&...&...\\a_n&2a_n&3a_n&...&na_n\end{pmatrix}- A=⎝⎜⎜⎛a1a2...an2a12a2...2an3a13a2...3an............na1na2...nan⎠⎟⎟⎞− d i a g { a 1 , a 2 , . . . , a n } diag\{a_1,a_2,...,a_n\} diag{a1,a2,...,an}
- ⇒ \Rightarrow ⇒ ∣ A ∣ = ∣ d i a g { a 1 , a 2 , . . . , a n } ∣ ⋅ ∣ [ 1 1 . . . 1 ] ⋅ [ 1 2 . . . n ] − I n ∣ |A|=|diag\{a_1,a_2,...,a_n\}|\cdot\begin{vmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\\...\\1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1&2&...&n\end{bmatrix}-I_n\end{vmatrix} ∣A∣=∣diag{a1,a2,...,an}∣⋅∣∣∣∣∣∣∣∣⎣⎢⎢⎡11...1⎦⎥⎥⎤⋅[12...n]−In∣∣∣∣∣∣∣∣ = ( − 1 ) n a 1 a 2 . . . a n ∣ I n − [ 1 1 . . . 1 ] ⋅ [ 1 2 . . . n ] ∣ =(-1)^na_1a_2...a_n\begin{vmatrix}I_n-\begin{bmatrix}1\\1\\...\\1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1&2&...&n\end{bmatrix}\end{vmatrix} =(−1)na1a2...an∣∣∣∣∣∣∣∣In−⎣⎢⎢⎡11...1⎦⎥⎥⎤⋅[12...n]∣∣∣∣∣∣∣∣
- 很明显了