HDU 3466 Proud Merchants DP 分享排序方式的证明。。

  此题我纠结了一下午，最终。。。。。。还是没想出来。然后看了神牛的题解 说是 按  q-p 排序。。。 于是我就去想为什么按此排序。。

在雨中漫步了一会，今晚的济南的正好下雨，但还是习惯性走出实验室，思考了十几分钟之后，终于想通了。。。。  于是就在这写题解。。。

 

我感觉这是一个好题。。。。。。。。

Proud Merchants

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Total Submission(s): 1210 Accepted Submission(s): 508

Problem Description

Recently, iSea went to an ancient country. For such a long time, it was the most wealthy and powerful kingdom in the world. As a result, the people in this country are still very proud even if their nation hasn’t been so wealthy any more.
The merchants were the most typical, each of them only sold exactly one item, the price was Pi, but they would refuse to make a trade with you if your money were less than Qi, and iSea evaluated every item a value Vi.
If he had M units of money, what’s the maximum value iSea could get?

 

Input

There are several test cases in the input.

Each test case begin with two integers N, M (1 ≤ N ≤ 500, 1 ≤ M ≤ 5000), indicating the items’ number and the initial money.
Then N lines follow, each line contains three numbers Pi, Qi and Vi (1 ≤ Pi ≤ Qi ≤ 100, 1 ≤ Vi ≤ 1000), their meaning is in the description.

The input terminates by end of file marker.

 

Output

For each test case, output one integer, indicating maximum value iSea could get.

 

Sample Input

2 10 10 15 10 5 10 5 3 10 5 10 5 3 5 6 2 7 3

 

Sample Output

5 11

 

题意是： 给你一些钱 m ，然后在这个国家买东西， 共有 n 件物品，每件物品有  价格 P    价值 V    还有一个很特别的属性 Q, Q 指 你如过想买这件物品 你的手中至少有这钱Q 。 虽然你只要花费 钱P ，但你的手中至少有钱Q，如果不足Q ，不能买。问给你钱M ，列出N件物品，最多能获得多少价值的东西。。。。

 

第一眼看是个DP。。。。  但是想了许久都想不出   状态转移方程。。。

废话不多说。 给出解题思路。。。。。

解：    按 Q-P 的大小 ，从小到大排序，然后按照0-1 背包的思想

                              dp[c]=max(dp[c],dp[c-p[i]])+v[i];  最终 dp[m]就是结果。

思路很简单，但是很难想。

在这我给出为什么要按Q-P排序的证明

         一。 首先，不想为什么 ，要按照Q-P  排序。我们先想这么一个问题，（原因一会就知道了）。

           给你n 个这种商品，你最少需要多少钱能够买下来。。(通过这个问题，可以找出一个性质)

              再把这个商品转化 一下。。

         还是有三个属性  P 价格 、V 价值 、 M 为Q-P。

          Sum = P1 +P2 +P3 +........+Pn+max(Mi-(P(i+1)+P(i+2)+...........Pn))；

             要使得Sum 最小 就应该按照 M从大到小排序 (这里就是从大到小，没错)，然后0-1背包求解。

         证明：

             如果看不懂公式 是什么 意思。。。没关系    那你就看 这样一个题的题解。。。这里有相同的公式（很简单的）

         http://blog.csdn.net/oceanlight/article/details/7862104  

         这是我昨天写的一个题的题解，真没想到今天会用到的。。。

         如果你看完了，你就应该懂了 。 要得到最小的sum ，就应该按照  M 从大到小排序了吧

         也就是说我们应该先买M最大的物体，然后买M第二大的 。。。。。  最后买最小的。。。这个性质是这个问题的关键。

        

          二。给一定的钱 ，我们的购买方式是  应该先买M最大的物体(M=Q-P)，然后依次买第二大、第三大、、、、、

         我们已经知道这个购买方式，怎么实现就要用到DP  中的0-1背包的思想了。

         dp[c]=max(dp[c],dp[c-p[i]])+v[i];   c 为第c 个物品。这是用一维数组实现01背包。。

         dp[c-p[i]] 是指   我们在容量为c 的包中 放了p[i]之后  还能放的物品的价值。

         i 从 1 到 n  。 dp[c-p[n]]  是放了 第n个物品后 还能放多少价值的物品。。。所以  P[n] 的M 值应该最大

        通俗的说： 这个dp过程 正好是逆向的  。   dp[c-p[i]]是dp[c]的最优子结构。

        所以 在DP 的时候我们应该按照 M的值从小到大排序。

       也就是说我们应该按照 Q-P 的值 从小到 大排序在 DP 了。。。。

 

          好了 结束。。。。。

         附上本人的 代码：

      

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
struct item {
 int p; 
 int q;
 int v;
 bool operator < (const item b)const {
    return q-pb)?a:b;
}
int n , m;
int dp[5200];
void init(){
   for(int i=0;i<=m;i++){
       dp[i]=0 ;
   }
  
}
int main(){
  while( scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
  
   for(int i =1;i<=n;i++){
     int pi,qi,vi;
     scanf("%d%d%d",&pi,&qi,&vi);
     tm[i].p=pi;
     tm[i].q=qi;
     tm[i].v=vi;
     
   }
   sort(tm+1,tm+n+1);
   init();
   for(int i=1;i<=n;i++){
       int p = tm[i].p;
       int q = tm[i].q;
       int v = tm[i].v;
     for(int c = m;c>=q;c--){
          dp[c]=max(dp[c],dp[c-p]+v);    
     }
   }
   cout << dp[m]<

 

不给注释了。。。。。